Elementi di Euclide

Gli Elementi iniziano con un elenco di 23 definizioni. Alcune di esse rappresentano quelli che oggi chiamiamo gli enti primitivi, come la Def.1, Def.2, e Def.5, che introducono i termini punto, linea e superficie. (Per Euclide, il concetto di linea include anche le linee curve).

Sono inseriti poi i cosiddetti 5 postulati. Ogni postulato è un assioma, cioè un'affermazione che è accettata vera senza dimostrazione. La maggior parte di essi sono costruzioni.

Seguono le 5 Nozioni Comuni che sono assiomi, ma riferiti a diversi tipi di grandezze.

Vi sono infine 48 proposizioni. Ognuna di esse contiene un enunciato seguito da una dimostrazione della correttezza dell'enunciato stesso. Ogni enunciato della dimostrazione è giustificato da una definizione, da un postulato, o da una nozione comune, o da proposizioni precedentemente dimostrate.

Alcune delle proposizioni sono costruzioni. La maggior parte di esse, tuttavia, affermano che date alcune ipotesi, è possibile derivare altre proprietà seguendo un percorso logico (la geometria euclidea è infatti detta anche logico-deduttiva).

DEFINIZIONI

• Def. 1: Un punto è ciò che non ha parti.
• Def. 2: Una linea è lunghezza senza larghezza.
• Def. 3: Gli estremi di una linea sono punti.
• Def. 4: Una linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.
• Def. 5: Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
• Def. 6: Gli estremi di una superficie sono linee.
• Def. 7: Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.
• Def. 8: Un angolo piano è, toccandosi tra loro due linee in un piano e non essendo poste in linea retta, l'inclinazione delle linee l'una rispetto all'altra.
• Def. 9: E quando le linee che comprendono l'angolo siano rette, l'angolo è chiamato rettilineo.
• Def. 10: E quando una retta che sta su una retta forma gli angoli consecutivi uguali tra loro, uno e l'altro degli angoli uguali è retto, e la retta che sta su è chiamata perpendicolare a quella su cui sta.
• Def. 11: Un angolo ottuso è quello maggiore di un retto.
• Def. 12: Un angolo acuto è quello minore di un retto.
• Def. 13: Termine è ciò che è estremo di qualcosa.
• Def. 14: Figura è ciò che è compreso da uno o più termini.
• Def. 15: Cerchio è una figura piana compresa da una sola linea, tutte le rette che incidono sulla quale, condotte da un solo punto tra quelli che sono posti all'interno della figura, sono uguali tra loro.
• Def. 16: Ed il punto è chiamato centro del cerchio.
• Def. 17: E diametro del cerchio è una certa retta condotta per il centro e delimitata da una e dall'altra parte dalla circonferenza del cerchio, la quale seca anche il cerchio a metà.
• Def. 18: E semicerchio è la figura compresa sia dal diametro che dall'arco staccato da esso. E centro del semicerchio lo stesso che è anche centro del cerchio
• Def. 19: Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, trilatere quelle da tre, quadrilatere quelle da quattro, polilatere quelle comprese da più di quattro rette.
• Def. 20:
• E delle figure trilatere, triangolo equilatero è quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha due soli lati uguali, scaleno quello che ha i tre lati disuguali.
• Def. 21: E ancora, delle figure trialatere, triangolo rettangolo è quello che ha un angolo retto, ottusangolo quello che ha un angolo ottuso, acutangolo quello che ha i tre angoli acuti
• Def. 22: E delle figure quadrilatere, quadrato è quello che è sia equilatero che rettangolo, eteromece quello che è rettangolo ma non equilatero, rombo quello che è equilatero ma non rettangolo, romboide quello che ha sia i lati che gli angoli opposti uguali tra loro, e che non è né equilatero né rettangolo; e i quadrilateri a parte questi siano chiamati trapezi.
• Def. 23: Parallele sono rette che, essendo nello stesso piano e prolungate illimitatamente da una e dall'altra parte, né da una né dall'altra si incontrano tra loro.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Costruire sulla retta limitata data un triangolo equilatero.
• Prop. 2: Porre sul punto dato una retta uguale alla retta data
• Prop. 3: Di due rette disuguali date, sottrarre dalla maggiore una retta uguale alla minore.
• Prop. 4: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche l'angolo tra essi compreso, uguale all'angolo, hanno anche la base uguale alla base, e il triangolo è uguale al triangolo, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali ai restanti angoli.
• Prop. 5: Gli angoli sulla base dei triangoli isosceli sono uguali tra loro, e, prolungate avanti le rette uguali, gli angoli sotto la base saranno uguali tra loro.
• Prop. 6: Se due angoli di un triangolo sono uguali tra loro, anche i lati che si tendono sotto gli angoli uguali sono uguali tra loro.
• Prop. 7: Sulla stessa retta altre due rette rispettivamente uguali alle stesse due rette e che hanno gli stessi limiti delle rette in origine non saranno costruite verso punti differenti dalla stessa parte.
• Prop. 8: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche la base uguale alla base, hanno anche l'angolo compreso dalle rette uguali, uguale all'angolo
• Prop. 9: Secare a metà l'angolo rettilineo dato.
• Prop. 10: Secare a metà la retta limitata data.
• Prop. 11: Condurre una linea retta ad angoli retti con la retta data dal punto dato su di essa.
• Prop. 12: Condurre una linea retta perpendicolare alla retta illimitata data dal punto dato, che non è su di essa.
• Prop. 13: Se una retta che sta su una retta forma angoli, farà o due angoli retti oppure uguali a due retti.
• Prop. 14: Se, su una certa e su un punto su di essa, due rette che sono poste non dalla stessa parte formano gli angoli consecutivi uguali a due retti, le rette saranno in linea retta tra loro
• Prop. 15: Se due rette si secano tra loro, formano gli angoli al vertice uguali tra loro
• Prop. 16: Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l'angolo all'esterno è maggiore di uno e dell'altro degli angoli all'interno e opposti.
• Prop. 17: In ogni triangolo la somma di due angoli qualunque è minore di due retti.
• Prop. 18: Il lato maggiore di ogni triangolo sottende l'angolo maggiore.
• Prop. 19: In ogni triangolo il lato opposto all'angolo maggiore è maggiore.
• Prop. 20: In ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del restante.
• Prop. 21: Se dai limiti di uno dei lati di un triangolo sono costruite due rette che si incontrano all'interno del triangolo, allora la somma delle rette così costruite è minore della somma dei restanti due lati del triangolo, ma le rette costruite contengono un angolo maggiore dell'angolo contenuto dai due lati restanti.
• Prop. 22: Costruire un triangolo da tre rette che sono uguali alle tre rette date: occorre pertanto che due rette sommate in ogni modo sia maggiore della restante.
• Prop. 23: Costruire, sulla retta data e su un punto su di essa, un angolo rettilineo uguale all'angolo rettilineo dato.
• Prop. 24: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno l'angolo compreso tra le rette uguali, maggiore dell'angolo, avranno anche la base maggiore della base.
• Prop. 25:
• Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno la base maggiore della base, avranno anche l'angolo, quello compreso dalle due rette uguali, maggiore dell'angolo.
• Prop. 26: Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali a due angoli e un solo lato, o quello agli angoli uguali oppure quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, avranno anche i restanti lati rispettivamente uguali ai restanti lati, e il restante angolo al restante angolo.
• Prop. 27: Se una retta che incide su due rette forma gli angoli alterni uguali tra loro, le rette saranno parallele tra loro.
• Prop. 28: Se una retta che incide su due rette forma un angolo all'esterno uguale a quello all'interno e opposto e dalla stessa parte o quelli all'interno e dalla stessa parte uguale a due retti, le rette saranno parallele tra loro.
• Prop. 29: Una retta che incide su rette parallele forma sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti.
• Prop. 30: Rette parallele alla stessa retta sono anche parallele tra loro.
• Prop. 31: Condurre una linea retta per il punto dato e parallela alla retta data.
• Prop. 32: Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l'angolo all'esterno è uguale ai due all'interno e opposti, e i tre angoli all'interno del triangolo sono uguali a due retti.
• Prop. 33: Le rette che congiungono dalla stessa parte le rette sia uguali che parallele sono anche esse stesse sia uguali che parallele.
• Prop. 34: Sia i lati che gli angoli opposti dei parallelogrammi sono uguali tra loro, e la diagonale li seca a metà.
• Prop. 35: I parallelogrammi che sono sulla stessa base e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
• Prop. 36: I parallelogrammi che sono su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
• Prop. 37: I triangoli che sono sulla stessa base e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
• Prop. 38: I triangoli che sono su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
• Prop. 39: I triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte sono anche nelle medesime parallele.
• :Prop. 40: I triangoli uguali che sono su basi uguali e dalla stessa parte sono anche nelle stesse parallele.
• Prop. 41: Se un parallelogrammo ha la stessa base di triangolo e sta nelle stesse parallele, il parallelogrammo è doppio del triangolo.
• Prop. 42: Costruire nell'angolo rettilineo dato un parallelogrammo uguale al triangolo dato.
• Prop. 43: I completamenti dei parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono uguali tra loro.
• Prop. 44: Applicare alla retta data, nell'angolo rettilineo dato, un parallelogrammo uguale al triangolo dato.
• Prop. 45: Costruire nell'angolo rettilineo dato un parallelogrammo uguale alla figura rettilinea data.
• Prop. 46: Descrivere sulla retta data un quadrato.
• Prop. 47: Nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo retto è uguale ai quadrati sui lati che comprendono l'angolo retto.
• Prop. 48: Se il quadrato su uno solo dei lati di un triangolo è uguale ai quadrati sui restanti due lati del triangolo, l'angolo compreso dai restanti due lati del triangolo è retto.