LIBRO I
Prop. 24: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno l'angolo compreso tra le rette uguali, maggiore dell'angolo, avranno anche la base maggiore della base
Dimostrazione
Siano dati due triangoli ABC e DEF che hanno i due lati AB e AC rispettivamente uguali ai due lati DE e DF, cioè AB uguale a DE e AC uguale a DF, e l'angolo su A sia maggiore dell'angolo su D: dico che anche la base BC è maggiore della base EF.
Poiché l'angolo BAC è maggiore dell'angolo EDF, si costruisca l'angolo EDG uguale all'angolo BAC sul punto D della retta DE (Prop.1-23). Si prenda DG uguale all'una o all'altra delle rette AC o DF (Prop.1-3). Si congiunga EG e FG. Poiché AB è uguale a DE, e AC uguale a DG, i due lati BA e AC sono uguali rispettivamente ai due lati ED e DG, e l'angolo BAC è uguale all'angolo EDG, pertanto la base BC è uguale alla base EG (Prop.1-3).
Di nuovo, poiché DF è uguale a DG, l'angolo DGF è quindi uguale all'angolo DFG (Prop.1-5). L'angolo DFG è quindi maggiore dell'angolo EGF. Pertanto l'angolo EFG è molto maggiore dell'angolo EGF.
Poiché EFG è un triangolo avente l'angolo EFG maggiore dell'angolo EGF (Prop.1-19), e il lato opposto all'angolo maggiore è maggiore, allora anche il lato EG è maggiore di EF. Ma EG è uguale a BC; anche BC è quindi maggiore di EF.
Se due triangoli quindi hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno l'angolo compreso tra le rette uguali, maggiore dell'angolo, avranno anche la base maggiore della base.
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Punto: traccia il punto D esterno al triangolo
- Semiretta: disegna una semiretta di origine D
- Angolo: segna l'angolo BAC
- Angolo di data Ampiezza: disegna l'angolo di verrtice D uguale a BAC e completalo con la seconda semiretta
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio AB, che interseca la prima semiretta in E
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio AC, che interseca la seconda semiretta in G
- Semiretta: disegna una semiretta interna all'angolo EDG, uguale a BAC, che interseca la seconda circonferenza in F
- Segmento: disegna i segmenti GE, GF, FE
La costruzione in questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-25 e in altre nel Libro III.