Elementi di Euclide

Def.1: Un punto è ciò che non ha parti

Questa definizione introduce il primo elemento primitivo. Esso è presentato come un'entità priva di lunghezza, larghezza e altezza, ma come indivisibile. Questo ente, come i successivi considerati primitivi, linea e superficie, non viene definito e quindi non assolve ad alcuna funzione logica. Può darsi che Euclide volesse spiegare intuitivamente il senso di queste entità in modo che i lettori si convincessero dell'applicabilità della sua Geometria.

Def.2: Una linea è lunghezza senza larghezza

"Linea" è il secondo ente primitivo. Afferma che una linea ha una sola dimensione, la lunghezza, ed è priva delle altre. La linea deve essere megliointesa come linea curva, senza necessariamente dover essere retta; infatti quando si ha a che fare con linee rette, vengono sempre specificate.

Def.3: Gli estremi di una linea sono punti

Questa definizione mette chiaramente in evidenza che una linea o curva ha sempre una lunghezza finita. Negli Elementi nin compaiono curve che si estendono all'infinito. Essa mostra l'esistenza di una relazione tra punti e linee. Non indica però quale estremo sia e quanti estremi abbia una linea. Per esempio la circonferenza non ha estremi, mentre una linea finita ha due estremi.

Def.4: Una linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.

La linea retta di Euclide è il nostro segmento. Essa indica, almeno, che "linea retta" è un tipo di linea.

Def.5: Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

Questa definizione afferma che una superficie ha solo due dimensioni. Così come per le linee, è chiaro che una superficie non deve essere necessariamente piana. Altri esempi di superfici che compaione negli Elementi, riguardano superfici di coni, cilindri e sfere.

Def.6: Gli estremi di una superficie sono linee.

Come per la Def.3, questa definizione descrive una certa relazione tra superfici e linee. Per esempio, una semisfera è una superficie il cui estremo è una circonferenza, un tipo di linea.

Def.7: Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

Vediamo qui che una superficie piana, abbreviata in "piana" è un tipo di superficie, mantenendo la stessa impostazione vista con la definzione di curva. Una interpretazione data spesso è che se una superficie piana contiene due punti, allora contiene anche la linea che li congiunge. Questo non sembra essere l'impostazione di Euclide che avrebbe dovuto introdurre in tal senso un ulteriore postulato. Una supefircie piana può essere infinita, ma non è necessario che lo sia. Può essere un quadrato, un cerchio o qualsiasi altra figura piana.