Elementi di Euclide

Il Libro VII è il primo dei tre Libri sulla teoria dei numeri. Inizia con 22 definizioni introdotte in questo Libro e valide anche per i due successivi. Le definizioni importanti sono quelle di unità e di numero, parte e multiplo, pari e dispari, primo e relativamente primo, proporzione, e numero perfetto. Gli elementi principali sono l'antenaresi (algoritmo euclideo per il calcolo del MCD), la teoria delle proporzioni tra numeri, i numeri primi tra loro, e il minimo comun denominatore. I numeri qui trattati sono solo i numeri interi commensurabili tra loro.

I numeri vengono principalmente moltiplicati, operazione necessaria per la scomposizione in fattori degli stessi. Viene qui introdotto il teorema fondamentale dell'aritmetica relativo all'unicità della scomposizione in fattori primi.

Il Libro VII contiene 22 definizioni e 39 proposizioni.

DEFINIZIONI

• Def. 1: Unità è ciò in virtù del quale ognuno degli enti è detto uno.
• Def. 2: Numero è una molteplicità composta di unità.
• Def. 3: Numero è parte di un numero, il minore del maggiore, quando misura il maggiore.
• Def. 4: E parti, quando non lo misura completamente.
• Def. 5: Il numero maggiore è multiplo del minore quando è misurato dal minore.
• Def. 6: Numero pari è quello che si divide a metà.
• Def. 7: E dispari quello che non è divisibile a metà, o quello che differisce di una unità da un numero pari.
• Def. 8: Numero pari volte pari è quello misurato da un numero pari secondo un numero pari.
• Def. 9: E pari volte dispari è quello misurato da un numero pari secondo un numero dispari.
• Def. 10: E dispari volte pari è quello misurato da un numero dispari secondo un numero pari.
• Def. 11: Numero primo è quello che è misurato soltanto dall'unità.
• Def. 12: Numeri primi tra loro sono quelli misurati da una sola unità come misura comune.
• Def. 13: Numero composto è quello misurato da un certo numero.
• Def. 14: E numeri composti tra loro sono quelli misurati da un certo numero come misura comune.
• Def. 15: Un numero è detto moltiplicare un numero, quando, quante unità siano in esso, tante volte sia composto quello che è moltiplicato, e risulti un certo numero.
• Def. 16: E quando due numeri moltiplicati fra loro producono un terzo numero, il numero così prodotto viene detto piano e i suoi lati sono i numeri che sono stati moltiplicati tra loro.
• Def. 17: E quando tre numeri moltiplicati tra loro producono un quarto numero, il numero così prodotto è solido e i suoi lati sono i numeri che sono stati moltiplicati tra loro.
• Def. 18: Numero quadrato è uguale moltiplicato per uguale, o compreso da due numeri uguali.
• Def. 19: E cubo è uguale moltiplicato per uguale e ancora per uguale, o un numero compreso da tre numeri uguali.
• Def. 20: Numeri sono in proporzione quando il primo è lo stesso multiplo o la stessa parte o le stesse parti del secondo che il terzo è del quarto.
• Def. 21: Numeri piani e solidi simili sono quelli che hanno i lati in proporzione.
• Def. 22: Numero perfetto è quello che è uguale alla somma delle proprie parti.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Fissati due numeri disuguali, e sottratto continuamente in successione il minore dal maggiore, se il resto non misura mai completamente quello prima di se stesso, fino a che resti una unità, allora i numeri originari saranno primi tra loro.
• Prop. 2: Trovare la massima misura comune di due numeri dati non primi tra loro.
• Prop. 3: Trovare la massima misura comune di tre numeri dati non primi tra loro.
• Prop. 4: Ogni numero è o parte oppure parti di ogni numero, il minore del maggiore.
• Prop. 5: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, messo insieme di messo insieme sarà la stessa parte che uno solo di uno solo.
• Prop. 6: Se un numero è parti di un numero, e un altro è le stesse parti di un altro, anche la somma è la stessa parte della somma come uno solo di essi con uno solo di essi.
• Prop. 7: Se un numero è quella parte di un numero che un numero sottratto è di un numero sottratto, anche il restante è la stessa parte del restante come il totale del totale.
• Prop. 8: Se un numero è le stesse parti di un numero, quelle che un numero sottratto è di un numero sottratto, anche il restante è le stesse parti del restante come il totale del totale.
• Prop. 9: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, anche alternando, qualunque parte delle parti il primo è del terzo, la stessa parte, o le stesse parti, il secondo è del quarto.
• Prop. 10: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, anche alternando, qualunque parte delle parti il primo è del terzo, la stessa parte, o le stesse parti, il secondo è del quarto.
• Prop. 11: Se un totale sta a un totale come un numero sottratto sta a un numero sottratto, allora il restante sta al restante come il totale sta al totale.
• Prop. 12: Se quanti si voglia numeri sono in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti.
• Prop. 13: Se quattro numeri sono in proporzione, allora essi sono anche in proporzione alternata.
• Prop. 14: Se quanti si voglia numeri, e altri uguali in molteplicità ad essi, che presi due a due sono nello stesso rapporto, allora essi sono anche nello stesso rapporto tramite uguale.
• Prop. 15: Se una unità misura un certo numero, e un altro numero misura un certo altro numero le stesse volte, allora alternando, l'unità misura il terzo numero la stessa quantità di volte che il secondo misura il quarto.
• Prop. 16: Se due numeri moltiplicandosi tra loro formano certi numeri, allora i numeri così prodotti sono uguali tra loro.
• Prop. 17: Se un numero moltiplicando due numeri forma certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto dei numeri moltiplicati.
• Prop. 18: Se due numeri moltiplicando un certo numero formano certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto di quelli che moltiplicano.
• Prop. 19: Se quattro numeri sono in proporzione, il numero prodotto dal primo e quarto è uguale al numero prodotto dal secondo e terzo; e, se il numero prodotto dal primo e quarto è uguale a quello prodotto dal secondo e terzo, i quattro numeri sono in proporzione.
• Prop. 20: I numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto; il maggiore il maggiore e il minore il minore.
• Prop. 21: I numeri primi tra loro sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto.
• Prop. 22: I numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto sono primi tra loro.
• Prop. 23: Se due numeri sono primi tra loro, il numero che misura uno di essi è primo rispetto al restante.
• Prop. 24: Se due numeri sono primi rispetto a un certo numero, anche il loro prodotto è primo rispetto allo stesso.
• Prop. 25: Se due numeri sono primi tra loro, il prodotto di uno di essi con se stesso è primo rispetto rimanente.
• Prop. 26: Se due numeri sono primi rispetto a due numeri, entrambi ad ognuno, anche i loro prodotti sono primi tra loro.
• Prop. 27: Se due numeri sono primi tra loro, e entrambi moltiplicati per se stessi danno un certo numero, allora i prodotti sono primi tra loro; e, se i numeri originari moltiplicati per i prodotti danno certi numeri, allora anche quelli saranno primi tra loro.
• Prop. 28: Se due numeri sono primi tra loro, anche la loro somma è primo dell'uno e dell'altro; e, se la somma di due numeri è primo a un certo di essi, è primo anche al numero originario.
• Prop. 29: Ogni numero primo è primo rispetto a ogni numero che non misura.
• Prop. 30: Se due numeri moltiplicati fra loro fanno un certo numero e un qualsiasi numero primo misura il prodotto, allora esso misura anche uno dei numeri originari.
• Prop. 31: Ogni numero composto è misurato da un certo numero primo.
• Prop. 32: Ogni numero è o primo oppure è misurato da un certo numero primo.
• Prop. 33: Dati quanti si voglia numeri, trovare i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto.
• Prop. 34: Trovare il numero minimo che misura due numeri dati.
• Prop. 35: Se due numeri misurano un certo numero, allora il numero minimo misurato da essi misura anche lo stesso.
• Prop. 36: Trovare il numero minimo che misura tre numeri dati.
• Prop. 37: Se un numero è misurato da un certo numero, allora il numero che è misurato ha una parte omonima al misurante.
• Prop. 38: Se un numero ha una parte qualunque, allora è misurato da un numero omonimo alla parte.
• Prop. 39: Trovare il numero che, essendo minimo, ha le parti date.