LIBRO VII
Prop.17: Se un numero moltiplicando due numeri forma certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto dei numeri moltiplicati
Dimostrazione
Il numero A moltiplicato per i due numeri B e C produca D e E: dico che B sta a C come D sta a E.
Poiché A moltiplicato B produce D, allora B misura D secondo le unità in A. Ma anche l'unità F misura il numero A secondo le unità in esso, pertanto l'unità F misura il numero A le stesse volte con cui B misura D (Def.7-20). L'unità F sta quindi al numero A come B sta a D.
Per gli stessi motivi l'unità F sta al numero A come C sta a E; B sta quindi a D come C sta a E.
Pertanto, alternando B sta a C come D sta a E (Prop.7-13).
Se quindi un numero moltiplicando due numeri forma certi numeri, allora i numeri coì prodotti hanno lo stesso rapporto dei numeri moltiplicati.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, F
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = AxB/F e il segmento E = AxC/F; F è in questo caso l'unità per i segmenti
In notazione algebrica:
\(a:b = ma:mb\)
Questa proposizione è utilizzata frequentemente in questo libro e nel Libro IX.