Elementi di Euclide

Il Libro XI torna a trattare la geometria, dopo la teoria dei numeri e delle proporzioni. Introduce, infatti, lo studio della geometria solida elementare: relazioni piani e rette nello spazio, angoli solidi, prismi. Il confronto tra le figure solide definite può essere fatto senza ricorrere al concetto di infinito, perché è ancora possibile ricorrere alla scomposizione in parti più piccole in numero finito.

Le prime proposizioni possono essere intese come un ampliamento dei postulati inizialmente introdotti.

Il Libro XI contiene 28 definizioni e 39 proposizioni.

DEFINIZIONI

• Def. 1: Un solido è ciò che ha lunghezza, larghezza e profondità
• Def. 2: E limite di un solido è la superficie
• Def. 3: Una retta è ortogonale a un piano quando forma angoli retti rispetto a tutte le rette che la toccano e che sono in quel piano
• Def. 4: Un piano è ortogonale a un piano quando le rette condotte in uno solo dei piani ad angoli retti con la sezione comune dei piani sono ad angoli retti con il restante piano.
• Def. 5: L'inclinazione di una retta rispetto a un piano è, quando si conduce dal limite superiore della retta una retta perpendicolare al piano, e si congiunge una retta dal punto risultante fino al limite nel piano della retta, l'angolo compreso dalla retta condotta e da quella che sta su
• Def. 6: L'inclinazione di un piano rispetto a un piano è l'angolo acuto compreso dalle rette condotte ad angoli retti con l'intersezione nello steso punto, in uno e nell'altro dei piani
• Def. 7: Un piano rispetto a un piano e un altro rispetto ad un altro sono detti similmente inclinati, quando i detti angoli delle inclinazioni sono uguali tra loro
• Def. 8: I piani paralleli sono quelli che non si incontrano
• Def. 9: Figure solide simili sono quelle comprese da piani simili uguali in molteplicità
• Def. 10: Figure solide e simili sono quelle comprese da piani simili uguali in molteplicità e in grandezza
• Def. 11: Un angolo solido è l'inclinazione rispetto a tutte le rette compresa da più che due rette che si toccano tra loro e non sono nella stessa superficie, cioè, un angolo solido è quello che è compreso da più di due angoli piani che non sono nello stesso piano e costruiti su un solo punto
• Def. 12: Una piramide è una figura solida compresa da piani, costruita da un solo piano a un solo punto
• Def. 13: Un prisma è una figura solida compresa sa piani due dei quali, cioè quelli opposti, sono uguali, simili, e paralleli, mentre i restanti sono parallelogrammi
• Def. 14: Una sfera è, quando stando fermo il diametro di un semicerchio, il semicerchio ruotato ritorna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura circondata
• Def. 15: L'asse della sfera è la linea retta che sta ferma, intorno alla quale gira il semicerchio
• Def. 16: Il centro della sfera è lo stesso del semicerchio
• Def. 17: Un diametro della sfera è ogni retta condotta per il centro e delimitata dall'una e dall'altra parte dalla superficie della sfera
• Def. 18: Cono è, quando stando fermo un solo lato di quelli attorno all'angolo retto di un triangolo rettangolo, il triangolo ruotato torna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura cirocondata. E, se la retta che rimane ferma è uguale alla restante, quella che ruota intorno all'angolo retto, il cono sarà rettangolo; se minore, ottusangolo; e se maggiore, acutangolo
• Def. 19: L'asse del cono è la retta che rimane ferma e attorno alla quale gira il triangolo
• Def. 20: E la base è il cerchio tracciato dalla retta che ruota
• Def. 21: Cilindro è, quando stando fermo un solo lato di quelli intorno all'angolo retto di un parallelogrammo rettangolo, il parallelogrammo ruotato ritorna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura circondata
• Def. 22: L'asse del cilindro è la retta che rimane ferma e attorno alla quale gira il parallelogrammo
• Def. 23: E le basi sono i cerchi tracciati dai due lati opposti condotti attorno
• Def. 24: Coni e cilindri simili sono quelli dei quali sia gli assi che i diametri della basi sono in proporzione
• Def. 25: Un cubo è una figura solida compresa da sei quadrati
• Def. 26: Un ottaedro è una figura solida compresa da otto triangoli equilateri uguali
• Def. 27: Un icosaedro è una figura solida compresa da ventri triangoli equilateri uguali
• Def. 28: Un dodecaedro è una figura solida compresa da dodici pentagoni equilateri e equiangoli uguali

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Di una linea retta una certa parte non può essere nel piano di riferimento e una parte più in alto
• Prop. 2: Se due rette si secano tra loro, allora sono in un solo piano; e ogni triangolo è in un solo piano
• Prop. 3: Se due piani si secano tra loro, allora la loro intersezione è una retta
• Prop. 4: Se una retta sta sulla sezione comune ad angoli retti con due rette che si secano tra loro, allora sarà ad angoli retti anche con il piano per esse
• Prop. 5: Se una retta sta sulla sezione comune ad angoli con tre rette che si secano tra loro, allora le tre rette sono in un solo piano
• Prop. 6: Se due rette sono ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele
• Prop. 7: Se due rette sono parallele e sono presi su una e l'altra di esse punti come càpita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele
• Prop. 8: Se due rette sono parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano
• Prop. 9: Le parallele alla stessa retta e che non sono nel suo stesso piano sono anche parallele tra loro
• Prop. 10: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali
• Prop. 11: Condurre dal punto alto dato una linea retta perpendicolare al piano dato
• Prop. 12: Innalzare dal punto dato su di esso una linea retta ad angoli retti con il piano dato
• Prop. 13: Dallo stesso punto non si innalzano dalla stessa parte due rette ad angoli retti con lo stesso piano
• Prop. 14: Piani ai quali una stessa retta è ortogonale, sono paralleli
• Prop. 15: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora i piani per esse sono paralleli
• Prop. 16: Se due piani paralleli sono secati da un certo piano, allora le loro intersezioni sono parallele
• Prop. 17: Se due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti
• Prop. 18: Se una retta è ad angoli retti con un certo piano, allora anche tutti i piani per essa sono ad angoli retti con lo stesso piano
• Prop. 19: Se due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano
• Prop. 20: Se un angolo solido è compreso da tre angoli piani, allora la somma di due qualsivoglia è maggiore del restante
• Prop. 21: Ogni angolo solido è compreso da angoli piani la cui somma è minore di quattro retti
• Prop. 22: Se vi sono tre angoli piani tali che la somma di due qualsiasi è maggiore di quello restante, e che sono compresi da rette uguali, allora è possibile costruire un triangolo dalle congiungenti le rette uguali
• Prop. 23: Se vi sono tre angoli piani tali che la somma di due qualsiasi è maggiore di quello restante, e che sono compresi da rette uguali, allora è possibile costruire un triangolo dalle congiungenti le rette uguali
• Prop. 24: Se un solido è compreso da piani paralleli, allora i piani opposti ad esso sono uguali e parallelogrammi
• Prop. 25: Se un parallelepipedo solido è secato da un piano parallelo ai piani opposti, allora la base sta alla base come il solido sta al solido
• Prop. 26: Costruire, sulla retta data e su un punto su di essa un angolo solido uguale all'angolo solido dato
• Prop. 27: Descrivere sulla retta data un parallelepipedo solido simile e similmente posto a un parallelepipedo dato
• Prop. 28: Se un parallelepipedo solido è secato da un piano secondo le diagonali dei piani opposti, allora il solido è secato a metà dal piano
• Prop. 29: Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su sono sulle stesse rette, sono uguali tra loro
• Prop. 30: Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su non sono sulle stesse rette, sono uguali tra loro
• Prop. 31: Solidi parallelepipedi che sono su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro
• Prop. 32: Solidi parallelepipedi che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le loro basi
• Prop. 33: Solidi parallelepipedi simili sono tra loro in rapporto triplicato rispetto a quello dei lati omologhi.
  Corollario: Se quattro rette sono in proporzione, allora la prima sta alla quarta come un parallelepipedo solido sulla prima sta al parallelepipedo solido simile e similmente posto sulla seconda, poiché anche la prima ha con la quarta il rapporto triplicato di quello che ha con la seconda
• Prop. 34: In solidi parallelepipedi uguali le basi sono in relazione inversa alle altezze; e quei parallelepipedi solidi nei quali le basi sono in relazione inversa alle altezze sono uguali
• Prop. 35: Se vi sono due angoli piani uguali, e sui loro vertici stanno su rette alte che comprendono angoli rispettivamente uguali con le rette in origine, e se su quelle alte sono presi punti come càpita e da essi perpendicolari ai piani in cui sono le rette in origine sono condotte rette, e dai punti che risultano nei piani fino agli angoli in origine sono congiunte rette, allora esse comprenderanno angoli uguali con quelle alte
• Prop. 36: Se tre rette sono in proporzione, allora il parallelepipedo solido che risulta dalle tre è uguale al parallelepipedo solido sulla media che è equilatero e equiangolo con il predetto
• Prop. 37: Se quattro rette sono in proporzione, allora anche solidi parallelepipedi sia simili sia similmente descritti su di esse sono in proporzione; e, se i solidi parallelepipedi sia simili che similmente descritti su di esse sono in proporzione, allora anche le stesse rette sono in proporzione
• Prop. 38: Se i lati dei piani opposti di un cubo sono secati a metà, e per le sezioni sono prolungati piani, allora la sezione comune dei piani e la diagonale del cubo si secano a metà tra loro
• Prop. 39: Se vi sono due prismi di uguale altezza, e uno ha come base un parallelogrammo e l'altro un triangolo, e se il parallelogrammo è doppio del triangolo, allora i prismi sono uguali