LIBRO XI
Prop.9: Le parallele alla stessa retta e che non sono nel suo stesso piano sono anche parallele tra loro
Dimostrazione
Siano ognuna delle rette AB, CD parallele a EF, ma non nel suo stesso piano: dico che AB è parallela a CD.
Sia preso un punto G come capita su EF, e da essa si conduca GH nel piano per EF e AB ad angoli retti con EF, e GK nel piano per EF e CD ancora ad angoli retti con (Prop.1-11). Ora, poiché EF è ad angoli retti con ognuna delle rette GH e GK, allora anche EF è ad angoli retti con il piano per GH e GK (Prop.11-4).
Ma EF è parallela ad AB, anche AB è quindi ad angoli retti con il piano per HG e GK (Prop.11-8).
Per gli stessi motivi anche CD è ad angoli retti con il piano per HG e GK. Pertanto ognuna delle rette AB e CD è ad angoli retti con il piano per HG e GK.
Ma se due rette sono ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele (Prop.11-6). AB è quindi parallela a CD.
Se due rette sono quindi parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Parallela: disegna il segmento AB nel piano parallelo al lato orizzontale
- Punto: segna il punto E nel piano
- Parallela: disegna il segmento CD parallelo a AB e il segmento EF sulla parallela ad AB per E
- Punto: segna il punto G sul segmento EF
- Parallela: disegna la parallela GH all'altro lato del piano
- Punto: segna il punto K sul segmento CD
- Segmento: disegna il segmento GK
Questa proposizione è l'analoga della Prop.1-30, che dimostra la proprietà transitiva della relazione di parallelismo tra rette.