Elementi di Euclide

Il Libro VI tratta delle figure piane simili e utilizza la teoria delle proporzioni introdotta nel Libro V. La prima proposizione di questo libro è la proprietà sulla quale è costruito l'intero Libro. Essa stabilisce che il rapporto tra triangoli e parallelogrammi che stanno sotto la stessa altezza stanno tra loro come le basi, costruendo in tal modo una proporzione tra linee e figure.

Nelle dimostrazioni di questo libro Euclide, utilizzando la teoria delle proporzioni tra segmenti, non è obbligato a trattare separatamente il caso commensurabile da quello incommensurabile. Anche in questo Libro si possono trovare risultati fondamentali dell'algebra moderna trattati geometricamente.

Il Libro VI contiene 5 definizioni e 33 proposizioni.

DEFINIZIONI

• Def. 1: Figure rettilinee simii sono quelle che hanno angoli corrispondenti ugualie e i lati, intorno agli angoli uguali, in proporzione.
• Def. 2: Due figure sono in relazione inversa quando in entrambe le figure vi sono rapporti antecedenti e conseguenti.
• Def. 3: Una retta è detta secata in rapporto estremo e medio quando la retta totale sta al segmento maggiore, come il maggiore al minore.
• Def. 4: Altezza di ogni figura è la retta condotta dal vertice perpendicolare alla base.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: I triangoli e i parallelogrammi che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le basi.
• Prop. 2: Se una retta è condotta parallela a uno solo dei lati di un triangolo, allora seca i lati del triangolo in proporzione; e, se i lati del triangolo sono secati in proporazione, allora la retta congiungente i punti delle sezioni è parallela al restante lato del triangolo.
• Prop. 3: Se un angolo di un triangolo è secato a metà da una retta che seca anche la base, allora i segmenti della base hanno lo stesso rapporto dei restanti lati del triangolo; e, se segmenti della base hanno lo stesso rapporto dei restanti lati del triangolo, allora la retta che congiunge il vertice con la sezione secherà a metà l'angolo del triangolo.
• Prop. 4: Nei triangoli equiangoli i lati intorno agli angoli uguali sono in proporzione, e omologhi quelli che si tendono sotto gli angoli uguali.
• Prop. 5: Se due triangoli hanno i loro lati in proporzione, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi.
• Prop. 6: Se due triangoli hanno un solo angolo uguale a un solo angolo e i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi.
• Prop. 7: Se due triangoli hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e intorno ad un altro angolo i lati in proporzione, e i restanti angoli insieme o minori o non minori di un retto, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli intorno a cui sono i lati in proporzione.
• Prop. 8: Se in un triangolo rettangolo è tracciata una perpendicolare dall'angolo retto alla base, allora i triangoli alla perpendicolare sono simili sia a quello totale che tra loro.
  Corollario: Se in un triangolo rettangolo è tracciata una perpendicolare dall'angolo retto alla base, allora la retta così condotta p media proporzionale tra i segmenti della base.
• Prop. 9: Sottrarre la parte prescritta dalla retta data.
• Prop. 10: Secare la retta insecata data similmente a quella secata data.
• Prop. 11: Trovare una terza proporzionale di due rette date.
• Prop. 12: Trovare una quarta proporzionale di tre rette date.
• Prop. 13: Trovare una media proporzionale di due rette date.
• Prop. 14: Nei parallelogrammi sia uguali sia equiangoli, i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa; e i parallelogrammi, nei quali i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono uguali.
• Prop. 15: Nei triangoli uguali che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa; e quei triangoli che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e nei quali i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono uguali.
• Prop. 16: Se quattro rette sono in proporzione, allora il rettangolo compreso dagli estremi uguali è uguale al rettangolo compreso dai medi; e, se il rettangolo compreso dagli estremi uguali è uguale al rettangolo compreso dai medi, allora le quattro rette sono in proporzione.
• Prop. 17: Se tre rette sono in proporzione, allora il rettangolo compreso dagli estremi è uguale al quadrato sul medio; e, se il rettangolo compreso dagli estremi è uguale al quadrato sul medio, allora le tre rette sono in proporzione.
• Prop. 18: Descrivere sulla retta data una figura rettilinea sia simile sia posta similmente alla figura rettilinea data.
• Prop. 19: I triangoli simili sono tra loro in rapporto raddoppiato di quello dei lati omologhi.
  Corollario: Se tre rette sono in proporzione, allora la prima sta alla terza come la figura descritta sulla prima sta a quella che è simile e similmente descritta alla seconda.
• Prop. 20: I poligoni simili si dividono in triangoli sia simili sia in triangoli uguali in molteplicità che omologhi ai totali, e il poligono rispetto al poligono ha rapporto raddoppiato di quello che il lato omologo ha rispetto al lato omologo.
  Corollario: Figure rettilinee simili stanno tra loro come il rapporto raddoppiato dei lati omologhi.
• Prop. 21: Figure simili alla stessa figura rettilinea sono pure simili tra loro.
• Prop. 22: Se quattro rette sono in proporzione, allora le figure rettilinee simili o descritte similmente su di esse sono in proporzione; e, se le figure rettilinee simili o descritte similmente su di esse sono in proporzione, allora le rette sono in proporzione tra loro.
• Prop. 23: I parallelogrammi equiangoli tra loro hanno come rapporto quello composto dai rapporti dei lati.
• Prop. 24: I parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono simili sia a quello totale che tra loro.
• Prop. 25: Costruire una figura simile a una figura rettilinea data e uguale ad un'altra data.
• Prop. 26: Se da un parallelogrammo è sottratto un parallelogrammo, sia simile a quello totale sia posto similmente, che ha con esso un angolo comune, allora esso è sulla stessa diagonale di quello totale.
• Prop. 27: Di tutti i parallelogrammi applicati alla stessa retta e deficienti di figure parallelogrammiche sia simili che poste similmente a quella descritta sulla metà della retta, è massimo quel parallelogrammo che è applicato sulla metà della retta ed è simile al difetto.
• Prop. 28: Applicare a una data retta un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data e deficiente di una figura parallelogrammica simile alla data; occorre pertanto che la figura rettilinea data non sia maggiore del parallelogrammo descritto sulla metà della retta e simile al difetto.
• Prop. 29: A una retta data applicare un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data ed eccedente di una figura parallelogrammica simile a una data.
• Prop. 30: Secare la retta limitata data in rapporto estremo e medio.
• Prop. 31: Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato che sottende l'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che contengono l'angolo retto.
• Prop. 32: Se due triangoli aventi due lati proporzionali ai due lati sono composti secondo un solo angolo così da essere i loro lati onologhi anche paralleli, allora i restanti lati dei triangoli sono in linea retta.
• Prop. 33: Nei cerchi uguali gli angoli hanno lo stesso rapporto degli archi sui cui insistono, sia qualora insistano sui centri sia sulle circonferenze.