LIBRO VI
Prop.19: I triangoli simili sono tra loro in rapporto raddoppiato di quello dei lati omologhi
Dimostrazione
Siano ABC e DEF triangoli simili aventi l'angolo B uguale all'angolo E, e tali che AB sta a BC come DE sta a EF, così che BC è omologo a EF: dico che il triangolo ABC sta al triangolo DEF in un rapporto raddoppiato di quello che BC ha con EF.
Si prenda una terza proporzionale BG di BC e EF così che BC sta a EF come EF sta a BG (Prop.6-11), e si congiunga AG. Poiché AB sta a BC come DE sta a EF, allora, alternando, AB sta a DE come BC sta a EF (Prop.5-16). Ma BC sta a EF come EF sta a BG, anche AB sta quindi a DE come EF sta a BG (Prop.5-11).
Nei triangoli ABG e DEF i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in relazione inversa. E quei triangoli che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e in cui i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono uguali (Prop.6-15). Pertanto il triangolo ABG è uguale al triangolo DEF.
E poiché BC sta a EF come EF sta a BG, e, se tre rette sono in proporzione, la prima ha con la terza un rapporto raddoppiato di quello che ha con la seconda, allora BC ha con BG un rapporto raddoppiato di quello che BC ha con EF (Def.5-9).
Ma BC sta a BG come il triangolo ABC sta al triangolo ABG (Prop.6-1); pertanto anche il triangolo ABC ha con il triangolo ABG un rapporto raddoppiato di quello che BC ha con EF (Prop.5-11).
Ma il triangolo ABG è uguale al triangolo DEF, quindi anche il triangolo ABC ha con il triangolo DEF un rapporto raddoppiato di quello che BC ha con EF (Prop.5-7).
I triangoli simili sono quindi tra loro in rapporto raddoppiato di quello dei lati omologhi.
Corollario: Se tre rette sono in proporzione, allora la prima sta alla terza come la figura descritta sulla prima sta a quella che è simile e similmente descritta alla seconda.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Segmento: disegna il segmento EF
- Angolo di data misura: disegna l'angolo DEF = ABC
- Semiretta: disegna la semiretta che completa l'angolo DEF
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E e raggio DE = ABxEF/BC
- Poligono: disegna il triangolo DEF
- Segmento: disegna il segmento AG, con G appartenente al lato BC
Questa proposizione viene oggi espressa dicendo che il rapporto tra le aree di due triangoli simili è uguale al rapporto dei quadrati ("raddoppiato") dei lati omologhi.
Questa proposizione è usata nella successiva dimostrazione.