Elementi di Euclide

Il Libro VIII contiene 27 proposizioni. Le definizioni sono quelle introdotte nel Libro VII, relative all'unicità della scomposizione in fattori primi.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e gli estremi sono primi tra loro, allora sono minimi i numeri tra quelli che hanno il loro stesso rapporto.
• Prop. 2: Trovare numeri minimi, quanti uno prescriva, in proporzione continua, che sono in un rapporto dato.
• Prop. 3: Se quanti si voglia numeri in proporzione continua sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora i loro estremi sono primi tra loro.
• Prop. 4: Dati quanti si voglia rapporti in numeri minimi, trovare numeri in proporzione continua che sono minimi nei rapporti dati.
• Prop. 5: I numeri piani tra loro hanno come rapporto quello composto da quelli dei lati.
• Prop. 6: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e il primo non misura il secondo, allora nessun altro numero misurerà nessuno.
• Prop. 7: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e il primo misura l'ultimo, allora misura anche il secondo.
• Prop. 8: Se tra due numeri cadono numeri in proporzione continua con essi, allora, quanti numeri cadono tra di essi in proporzione continua, tanti cadono in proporzione continua anche tra quelli che hanno lo stesso rapporto con i numeri in origine.
• Prop. 9: Se due numeri sono primi tra loro, e tra di essi cadono numeri in proporzione continua, allora, quanti numeri cadono tra di essi in proporzione continua, tanti cadono in proporzione continua anche tra ciascuno di essi e un'unità.
• Prop. 10: Se tra due numeri e un'unità cadono numeri in proporzione continua, allora quanti numeri cadono in proporzione continua tra di essi e un'unità, tanti cadono in propozione continua anche tra di essi.
• Prop. 11: Tra due numeri quadrati vi è un solo numero medio proporzionale, e il quadrato ha con il quadrato il rapporto raddoppiato che il lato ha con il lato.
• Prop. 12: Tra due numeri cubi vi sono due numeri medi proporzionali, e il cubo ha con il cubo il rapporto triplicato che il lato ha con il lato.
• Prop. 13: Se vi sono quanti si vuole numeri in proporzione continua, e ognuno moltiplicato con se stesso produce un certo numero, allora i prodotti sono in proporzione; e, se i numeri in origine moltiplicati per i prodotti producono certi numeri, allora anche essi sono in proporzione.
• Prop. 14: Se un numero quadrato misura un numero quadrato, allora anche il lato misura il lato; e, se il lato misura il lato, allora anche il quadrato misura il quadrato.
• Prop. 15: Se un numero cubo misura un numero cubo, allora anche il lato misura il lato; e, se il lato misura il lato, allora anche il cubo misura il cubo.
• Prop. 16: Se un numero quadrato non misura un numero quadrato, allora neanche il lato misura il lato; e, se il lato non misura il lato, allora nemmeno il quadrato misura il quadrato.
• Prop. 17: Se un numero cubico non misura un numero cubico, allora neanche il lato misura il lato; e, se il lato non misura il lato, allora neanche il cubo misura il cubo.
• Prop. 18: Tra due numeri piani simili c'è un solo numero medio proporzionale, e il numero piano ha con il numero piano il rapporto raddoppiato rispetto a quello che il lato omologo ha con il lato omologo.
• Prop. 19: Tra due numeri solidi simili cadono due numeri medi proporzionali, e il numero solido ha con il numero solido il rapporto triplicato rispetto a quello che il lato omologo ha con il lato omologo.
• Prop. 20: Se tra due numeri cade un solo numero medio proporzionale, allora i numeri sono piani simili.
• Prop. 21: Se tra due numeri cadono due numeri medi proporzionali, allora i numeri sono solidi simili.
• Prop. 22: Se tre numeri sono in proporzione continua, e il primo è quadrato, allora anche il terzo è quadrato.
• Prop. 23: Se quattro numeri sono in proporzione continua, e il primo è un cubo, allora anche il quarto è un cubo.
• Prop. 24: Se due numeri hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, e il primo è quadrato, allora anche il secondo è un quadrato.
• Prop. 25: Se due numeri hanno tra loro il rapporto che un numero cubico ha con un numero cubico, e il primo è un cubo, allora anche il secondo è un cubo.
• Prop. 26: I numeri piani simili tra loro hanno il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.
• Prop. 27: I numeri solidi simili hanno tra loro il rapporto che un numero cubico ha con un numero cubico.