Elementi di Euclide

Prop.20: Se tra due numeri cade un solo numero medio proporzionale, allora i numeri sono piani simili

Dimostrazione

Tra i due numeri A, B cada un solo numero medio proporzionale C: dico che A e B sono numeri piani simili.

Si prendano D ed E, i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A e C (Prop.7-33). Allora D misura A le stesse volte con cui E misura C (Prop.7-20).

Ora quante volte D misura A, tante unità sono in F. Allora F moltiplicato D produce A, così che A è piano, e D, F sono i suoi lati.

Di nuovo, poiché D ed E sono i minimi tra i numeri che hanno lo stesso rapporto con C e B, allora D misura C le stesse volte con cui E misura B (Prop.7-20). Ora, quante volte E misura B, tante unità sono in G. Allora E misura B secondo le unità in G. Pertanto G moltiplicato E produce B. Pertanto B è piano, ed E e G sono i suoi lati. A e B sono quindi numeri piani.

Dico ora che sono anche simili.

Poiché F moltiplicato per D produce A, e moltiplicato per E produce C, allora D sta a E come A sta a C, cioè, C rispetto a B (Prop.7-17). Di nuovo, poiché E moltiplicato per F e G produce risperttivamente C e B, allora F sta a G come C sta a B. Ma C sta a B come D sta a E, pertanto D sta a E come F sta a G. E alternando D sta a F come E sta a G (Prop.7-13).

A e B sono quindi numeri piani simili, i loro lati sono infatti in proporzione.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B, D
• Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C, medio porporzionale tra A e B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti F = A/D; E = DxB/C; G = B/E

Questa è una parziale proposizione inversa della Prop.8-18. Chiariamo con un esempio. I numeri \(a = 18\) e \(b = 50\) hanno un medio proporzionale \(c = 30\). Possiamo considerare \(a\) e \(b\) come lati di numeri piani, \(3 \times 6\) e \(5 \times 10\), nel modo seguente.

Quando \(a:c\) è ridotto ai minimi termini, il risultato è \(d:e = 3:5\). Allora \(f\) che è \(\frac{a}{d} = 6\) e il numero \(a = 18\) è visto come il numero piano \(d = 3\) per \(f = 6\). Quindi \(g\), che è \(\frac{d}{c} = 10\), e il numero \(b = 50\) è visto come il numero piano \(e = 5\) per \(g = 10\). I lati di questi numeri piani, \(3 \times 6\) e \(5 \times 10\), sono proporzionali.

Questa proposizione è largamente utilizzata nel Libro IX.