Elementi di Euclide

Prop.21: Se tra due numeri cadono due numeri medi proporzionali, allora i numeri sono solidi simili

Dimostrazione

Tra i due numeri A, B cadano due numeri medi proporzionali C, D: dico che A e B sono numeri solidi simili.

Si prendano tre numeri E, F, G, i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A, C, D (Prop.8-2). Allora gli estremi, E e G sono primi tra loro (Prop.8-3).

E poiché tra due numeri E e G risulta cadere un solo numero medio proporzionale F, allora E e G sono numeri piani simili (Prop.8-20). Siano dunque H e K i lati di E, e L e M i lati di G. è quindi manifesto dalla proposizione precedente che E, F, G sono in proporzione continua nel rapporto di H con L, e così come di K con M.

Di nuovo, poiché E, F, G sono i minimi tra i numeri che hanno lo stesso rapporto con A, C, D, e la molteplicità di E, F, G è uguale alla molteplicità di A, C, D, allora, tramite uguale E sta a G come A sta a D (Prop.7-14). Ma E e G sono primi tra loro, e i primi sono anche minimi (Prop.7-21), e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno il loro stesso rapporto, il maggiore il maggiore e il minore il minore (Prop.7-20), cioè, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente; pertanto E misura A le stesse volte con cui G misura D.

Ora, quante volte E misura A, tante unità siano in N. Allora N moltiplicato per E produce A. Ma E è il prodotto di H e K, pertanto N moltiplicato per il prodotto tra H e K produce A. Pertanto A è solido, e H, K, N sono i suoi lati.

Di nuovo, poiché E, F, G sono i minimi tra i numeri che hanno lo stesso rapporto con C, D, B, allora E misura C le stesse volte con cui G misura B. Ora, quante volte E misura C, tante unità sono in O. Allora G misura B secondo le unità in O, pertanto O moltiplicato per G produce B.

Ma G è il prodotto di L e M, pertanto O moltiplicato per il prodotto tra L e M produce B. Quindi B è solido, e L, M, O sono i suoi lati. A e B sono quindi solidi.

Dico ora che sono anche simili.

Poiché N e O moltiplicati per E producono A e C, allora N sta a O come A sta a C, come, E a F (Prop.7-18). Ma E sta a F come H sta a L, e come K sta a M, pertanto H sta a L come K sta a M, e come N sta a O. Inoltre H, K, N sono i lati di A, e O, L, M i lati di B. Pertanto A e B sono numeri solidi simili.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B, H, K, L, M
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti E = HxK; G = LxM;
• Circonferenza di dato raggio: disegna il medio proporzionale F tra E e G
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti N = A/E; D = AxG/E; O = B/G; C = OxE

Questa è una parziale proposizione inversa della Prop.8-19. Dice che se due numeri hanno due medi proporzionali, allora possono essere considerati come due numeri solidi simili. La dimnostrazione è analoga a quella della precedente proposizione riguardante due numeri piani.

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.8-23.