LIBRO VIII
Prop.19: Tra due numeri solidi simili cadono due numeri medi proporzionali, e il numero solido ha con il numero solido il rapporto triplicato rispetto a quello che il lato omologo ha con il lato omologo
Dimostrazione
Siano A, B due numeri solidi simili, e siano C, D, E i lati di A e F, G, H quelli di B. E poiché numeri solidi simili sono quelli che hanno i lati in proporzione, C sta quindi a D come F sta a G e D sta a E come G ad H (Def.7-21). Dico dunque che tra A e B cadono due medi proporzionali e che A ha con B un rapporto triplicato rispetto a quello di C con F o di D con G, ed E con H.
C moltiplicato per D produce K, e F moltiplicato per G produce L. E poiché C e D sono nello stesso rapporto con F e G, e K è il prodotto di C e D, e L il prodotto di F e G, K e L sono numeri piano simili, pertanto tra K e L vi è un medio proporzionale M (Prop.8-18). Pertanto M è il prodotto di D e F come dimostrato nel teorema precedente.
E poiché D moltiplicato per C produce K, e moltiplicato per F produce M, pertanto C sta a F come K sta a M. Ma K sta a M come M sta a L. Pertanto K, M, L sono in proporzione continua nel rapporto di C con F (Prop.7-17). E poiché C sta a D come F sta a G, alternando C sta quindi a F come D sta a G. Per gli stessi motivi anche D sta a G come E sta a H (Prop.7-13). Pertanto K, M, L sono in proporzione continua nel rapporto di C con F, nel rapporto di D con G, e anche nel rapporto di E con H.
Ora moltiplicando E e H per M si produce rispettivamente N e O. E poiché A è un numero solido, e C, D, E sono i suoi lati, allora E moltiplicato per il prodotto di C e D produce A. Ma il prodotto di C e D è K, pertanto E moltiplicato per K produce A. Per gli stessi motivi anche H moltiplicato per L produce B.
E poiché E moltiplicato per K produce A, e inoltre moltiplicato anche per M produce N, pertanto K sta a M come A sta a N (Prop.7-17). Ma K sta a M come C sta a F, come D sta a G, e come E sta a H, pertanto C sta a F come D sta a G, come E sta a H, e come A sta a N.
Di nuovo, poiché E e H moltiplicati per M producono rispettivamente N e O, allora E sta a H come N sta a O (Prop.7-18). Ma E sta a H come C sta a F e come D sta a G, allora C sta a F come D sta a G, come E sta a H, come A sta a N, e come N sta a O.
Di nuovo, poiché H moltiplicato per M produce O, e inoltre moltiplicato anche per L produce B, allora M sta a L come O sta a B. Ma M sta a L come C sta a F, come D sta a G, e come E sta a H. Pertanto C sta a F come D sta a G, e come E sta a H, come O a B, A a N, e N a O (Prop.7-17). Pertanto A, N, O, B sono in proporzione continua nei detti rapporti tra i lati.
Dico che anche A ha con B il rapporto triplicato di quello che il lato omologo ha con il lato omologo, cioè, del rapporto che il numero C ha con F, o D ha con G, e anche E ha con H.
Poiché A, N, O, B sono quattro numeri in proporzione continua, allora A ha con B il rapporto triplicato di quello che A ha con N. Ma è stato dimostrato che A sta a N come C sta a F, come D sta a G, e come E sta a H. Pertanto anche A ha con B il rapporto triplicato di quello che il lato omologo ha con il lato omologo, cioè, del rapporto che C ha con F, D ha con G, e anche E ha con H.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D, E, F
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = FxD/C; H = GxE/D
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti K = DxC; M = DxF; L = FxG; N = ExM; O = HxM; A = ExCxD; B = HxL
Assumiamo che i numeri solidi \(cde\) e \(fgh\) siano simili di modo che \(c:d:e = f:g:h\), o, alternando,
\(c:f = d:g = e:h\)
Allora i numeri \(cde, fde, fge, fgh\) sono in proporzione continua prevedendo due medi proporzionali tra \(cde\) e \(fgh\). Inoltre, il rapporto \(cde:fgh\) è composto dei tre rapporti uguali tra i lati \(c:f\), \(d:g\), \(e:h\), e quindi nel rapporto triplicato con ognuno.
Questa proposizione è largamente utilizzata nel seguito del Libro VIII e pure nel Libro IX.