Elementi di Euclide

Il Libro IX è la continuazione del Libro VIII. Esso contiene 36 proposizioni. Le definizioni sono quelle introdotte nel Libro VII.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Se due numeri piani simili moltiplicati tra loro producono un certo numero, allora quello che risulta è un quadrato.
• Prop. 2: Se due numeri moltiplicati tra loro producono un quadrato, allora sono numeri piani simili.
• Prop. 3: Se un numero cubico moltiplicato per se stesso produce un certo numero, allora quello che risulta è un cubo.
• Prop. 4: Se un numero cubico moltiplicato per un numero cubico produce un certo numero, allora quello che risulta è un cubo.
• Prop. 5: Se un numero cubico moltiplicato per un certo numero produce un numero cubico, allora anche il numero moltiplicato è un cubo.
• Prop. 6: Se un numero moltiplicato per se stesso produce un cubo, allora anch'esso è un cubo.
• Prop. 7: Se un numero composto moltiplicato per un certo numero produce un certo numero, allora quello che risulta è un solido.
• Prop. 8: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, allora il terzo a partire dall'unità è quadrato così come quelli, tralasciandone uno, il quarto è cubo come anche quelli tralasciandone due, e il settimo è cubo e insieme quadrato e lo sono anche quelli tralasciandone cinque.
• Prop. 9: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e quello dopo l'unità è un quadrato, allora anche tutti i restanti sono quadrati; e se quello dopo l'unità è cubo, allora anche tutti i restanti sono cubi.
• Prop. 10: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, e quello dopo l'unità non è un quadrato, allora nessun altro è un quadrato ad eccezione del terzo e di tutti quelli tralsciandone uno; e, se quello dopo l'unità non è cubo, allora anche nessun altro è cubo, ad eccezione del quarto a partire dall'unità e di tutti quelli tralasciandone due.
• Prop. 11: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, allora il minore misura il maggiore secondo un certo numero tra quelli che sussistono nei numeri in proporzione.
• Prop. 12: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, allora da quanti numeri primi è misurato l'ultimo, dagli stessi è misurato anche quello dopo l'unità.
• Prop. 13: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e quello dopo l'unità è primo, allora quello massimo non è misurato da nessun altro eccetto quelli che si trovano tra i numeri in proporzione.
• Prop. 14: Se un numero minimo è misurato da numeri primi, allora non è misurato da nessun altro numero primo tranne quelli che lo misurano in origine.
• Prop. 15: Se tre numeri in proporzione continua sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora la somma di due qualsiasi è prima rispetto al restante.
• Prop. 16: Se due numeri sono primi tra loro, allora il secondo non sta ad un certo altro come il primo al secondo.
• Prop. 17: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e i loro estremi sono primi tra loro, allora l'ultimo non sta ad un certo altro numero come il primo al secondo.
• Prop. 18: Dati due numeri, investigare se è possibile trovare un loro terzo proporzionale.
• Prop. 19: Dati tre numeri, investigare quando è possibile trovare un loro quarto proporzionale.
• Prop. 20: I numeri primi sono più di ogni molteplicità assegnata di numeri primi.
• Prop. 21: Se quanti si voglia numeri pari sono sommati tra loro, allora la somma è pari.
• Prop. 22: Se quanti si voglia numeri dispari sono sommati tra loro, e la loro molteplicità è pari, allora la somma è pari.
• Prop. 23: Se quanti si voglia numeri dispari sono sommati tra loro, e la loro molteplicità è dispari, allora la somma è dispari.
• Prop. 24: Se da un numero pari si sottrae un pari, allora il restante è pari.
• Prop. 25: Se da un numero pari è sottratto un dispari, il restante è dispari.
• Prop. 26: Se da un numero dispari è sottratto un dispari, il restante è pari.
• Prop. 27: .Se da un numero dispari è sottratto un pari, allora il restante è dispari.
• Prop. 28: Se un numero dispari è moltiplicato per un pari, allora il prodotto è pari.
• Prop. 29: Se un numero dispari è moltiplicato per un dispari, allora il prodotto è disparii.
• Prop. 30: Se un numero dispari misura un numero pari, allora misura anche la sua metà.
• Prop. 31: Se un numero dispari è primo rispetto a un certo numero, allora è primo anche rispetto al suo doppio.
• Prop. 32: Ciascuno dei numeri ottenuti per raddoppiamento a partire da una diade è pari volte pari soltanto.
• Prop. 33: Se la metà di un numero è dispari, allora è pari volte dispari soltanto.
• Prop. 34: Se un numero non è ottenuto né per raddoppiamento a partire da una diade né ha la metà dispari, allora è sia pari volte pari che pari volte dispari.
• Prop. 35: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e si sottraggono al secondo e all'ultimo numeri uguali al primo, allora l'eccesso del secondo sta al primo come l'eccesso dell'ultimo sta alla somma di tutti quelli prima di lui.
• Prop. 36: Se a partire da una unità sono fissati quanti si voglia numeri in proporzione raddoppiata, fino a che la somma di tutti risulta primo, e se la somma moltiplicata per l'ultimo produce un certo numero, allora quello che risulta è perfetto.