LIBRO IX
Prop.15: Se tre numeri in proporzione continua sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora la somma di due qualsiasi è prima rispetto al restante
Dimostrazione
Siano A, B, C tre numeri in proporzione continua minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto: dico che la somma di due qualsiasi tra i numeri A, B, C è primo rispetto al restante, cioè, A più B è primo rispetto a C, B più C è primo rispetto ad A e A più C è primo rispetto a B.
Si prendano due numeri DE, EF minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A, B, C (Prop.8-2). è pertanto manifesto che DE moltiplicato per se stesso produce A, e moltiplicato per EF produce B, e che EF moltiplicato per se stesso produce C (Prop.8-2-Cor).
E poiché DE e EF sono minimi, allora sono primi tra loro (Prop-7-22). Ma, se due numeri sono primi tra loro, allora anche la loro somma è prima rispetto ad entrambi; DF è quindi primo rispetto ad ognuno dei numeri DE e EF (Prop.7-28). Ma DE è primo anche rispetto ad EF, pertanto DF e DE sono primi rispetto a EF. Ma, se due numeri sono primi rispetto ad un certo numero, allora anche il loro prodotto è primo rispetto al restante (Prop.7-28), così che il prodotto di FD e DE è primo rispetto a EF; da qui anche il prodotto di FD e DE è primo rispetto al quadrato su EF (Prop-7-25).
Ma il prodotto di FD e DE è il quadrato su DE più il prodotto di DE e EF, pertanto la somma del quadrato su DE e il prodotto di DE e EF è primo rispetto al quadrato su EF (Prop.2-3). E il quadrato su DE è A, il prodotto di DE e EF è B, e il quadrato su EF è C, pertanto la somma di A e B è prima rispetto a C. Analogamente si dimostra che la somma di B e C è prima rispetto ad A.
Dico ora che anche la somma di A e C è prima rispetto a B.
Poiché DF è primo rispetto ad ognuno dei numeri DE e EF (Prop-7-24), allora anche il quadrato su DF è primo rispetto al prodotto di DE e EF (Prop.7-25). Ma la somma dei quadrati su DE e EF insieme con il doppio del prodotto di DE e EF è uguale al quadrato su DF (Prop.2-4), pertanto la somma dei quadrati su DE e EF insieme con il doppio del prodotto di DE e EF è prima rispetto al prodotto di DE e EF.
Presi separatamente, la somma dei quadrati su DE e EF insieme con il prodotto di DE e EF è prima rispetto al prodotto di DE e EF. Pertanto, presi di nuovo separatamente, la somma dei quadrati su DE e EF è prima rispetto al prodotto di DE e EF. Ma il quadrato su DE è A, il prodotto di DE e EF è B, e il quadrato su EF è C.
La somma di A e C è quindi prima rispetto a B.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = BxB/A;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti DF = radice(A+C+2B); DE = radice(A)
In termini numerici:
Siano \(a, b, c\) tre numeri in proporzione continua. Allora, dalla (Prop.8-2) sono della forma:
\(a = d^2\), \(b = de\), \(c = e^2\)
dove \(d\) ed \(e\) sono primi tra loro. Allora, \(d+e\) è primo rispetto a \(d\) e a \(e\) (Prop.7-28).
Poiché \(d\), \(d+e\) sono primi rispetto ad \(e\), anche il loro prodotto \(d^2+de\) è primo rispetto ad \(e\) (Prop.7-24); pertanto anche a \(e^2\) (Prop.7-25). Allora, \(a+b\) è primo rispetto a \(c\).
Allo stesso modo, \(b+c\) è primo rispetto ad \(a\).
Poiché \(d+e\) è primo rispetto a \(d\) ed \(e\), così il suo quadrato \((d+e)^2\) è primo rispetto al prodotto \(de\) (Prop.7-24 e Prop.7-25). Cioè, \(d^2+e^2+2de\) è primo rispetto a \(de\). Sottraendo \(2de\) si conclide che \(d^2+e^2\) è primo rispetto a \(de\). Pertanto, \(b\) è primo rispetto ad \(a+c\).