Elementi di Euclide

Prop. 3: Qualora una linea retta sia secata a caso, il rettangolo compreso dalla retta totale e uno solo dei segmenti è uguale sia al rettangolo compreso dai segmenti sia al quadrato sul predetto segmento

Dimostrazione

Si sechi come capita la retta AB nel punto C: dico il rettangolo AB per BC è uguale alla somma del rettangolo AC per CB con il quadrato su BC.

Si descriva su CB il quadrato CDEB (Prop.1-46), e si conduca oltre ED fino a F, e per A la parallela a una o all'altra delle CD, BE (Prop.1-31).

AE è pertanto uguale ad AD più CE. AE è il rettangolo AB per BC, è infatti compreso da AB e BE, e BE è uguale a BC; AD è il rettangolo AC per CB, è infatti DC uguale a CB; e DB è il quadrato su CB.

Il rettangolo AB per BC è quindi uguale alla somma del rettangolo AC per CB e del quadrato su BC

Qualora una linea retta sia secata a caso, il rettangolo compreso dalla retta totale e uno solo dei segmenti è uguale sia al rettangolo compreso dai segmenti sia al quadrato sul predetto segmento.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Punto: traccia il punto C su AB
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta AB e passante per C
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C è raggio CB, che interseca la perpendicolare in D
• Parallela: disegna la parallela a CB passante per D
• Parallela: disegna da B la parallela alla retta CD che interseca la parallela a CB nel punto E
• Parallela: disegna la parallela a BC passante per E e la parallela a DE passante per A, che interseca la retta DE in F.
• Poligono: disegna il rettangolo ABEF e il quadrato CBED

Nella notazione algebrica: se x = y + z, allora xy = y² + yz.

Forme equivalente sono

(y + z)y = yz + y²,

xy = y(x - y) + y²

Questa proposizione si riferisce a linee e rettangoli, ma un'analoga affermazione è applicata anche alla teoria dei numeri nel libro IX, la proposizione IX.15.