LIBRO I
Prop. 46: Descrivere sulla retta data un quadrato
Dimostrazione
Sia data la retta AB: si deve pertanto descrivere sulla retta AB un quadrato.
Si conduca ad angoli retti con la retta AB dal punto A su di essa una retta AC (Prop.1-11), e uguale a AB si ponga AD (Prop.1-3), e per il punto B si costruisca la retta BE parallela a AD (Prop.1-31).
ADEB è quindi un parallelogrammo: AB è quindi uguale a DE, e AD a BE (Prop.1-34). Ma AB è uguale a AD: BA, AD, DE, EB sono quindi uguali tra loro: il parallelogrammo ADEB è quindi equilatero.
Dico ora che è anche rettangolo. Poiché infatti una retta AD incide sulle parallele AB e DE, la somma degli angoli BAD e ADE è uguale a due retti (Prop.1-29). E BAD è retto: ache ADE è quindi retto.
E i lati e gli angoli opposti dei parallelogrammi sono uguali tra loro: sono quindi retti anche gli angoli opposti ABE e BED: ADEB è quindi rettangolo (Prop.1-34).
Si è già dimostrato che è equilatero (Def.22).
È quindi un quadrato: e risulta essere descritto sulla retta AB.
La costruzione con GeoGebra
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare AC ad AB
- Circonferenza: traccia la circonferenza di centro A e raggio AB, che interseca la retta AC in D
- Parallela: disegna la parallela passante per B alla retta AC e la parallela per D alla retta AB; le due parallele si intersecano in E
- Poligono: disegna il poligono ABED, che è il quadrato richiesto
Viene introdotto il secondo poligono regolare: dopo il triangolo equilatero, il quadrato. I poligoni regolari a 4, 5 e 6 lati sono introdotti nel Libro IV.
Questa trasformazione è usata nella prossima proposizione.