LIBRO I
Prop. 3: Di due rette disuguali date, sottrarre dalla maggiore una retta uguale alla minore
Dimostrazione
Siano date le due rette disuguali AB e C, maggiore delle quali sia AB: si deve pertanto sottrarre dalla maggiore AB una retta uguale alla minore C.
Si ponga una retta AD sul punto A uguale alla retta C (Prop.1-2), e si tracci il cerchio DEF con centro A e raggio AD (Post. 3).
E poiché il punto A è il centro del cerchio DEF, AE è quindi uguale a AD (Def. 15). Ma C è pure uguale a AD; ognuna delle rette AE e C è quindi uguale a AD, così che AE è uguale a C(NC.1).
Pertanto di due rette disuguali AC e C, dalla maggiore AB risulta sottratta una retta AE uguale alla minore C, come si doveva dimostrare.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB e C
- Circonferenza di dato raggio: disegna cerchio di centro A e raggio uguale a C; essa interseca il segmento AB in E. (la costruzione della proposizione 2 è riassunta in Geogebra da questa funzione)
Pertanto, AE è uguale a C, e il segmento sottratto è EB.
Questa proposizione inizia la geometria aritmetica dei segmenti. Essa permette, infatti, la sottrazione tra segmenti, ma può anche essre usata per il loro confronto e per la loro somma. In altre parole, questa proposizione giustifica la legge di tricotomia dei segmenti.
Questa proposizione è frequentemente utilizzata a partire dalla Prop1-5.