LIBRO I
Prop. 4: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche l'angolo tra essi compreso, uguale all'angolo, hanno anche la base uguale alla base, e il triangolo è uguale al triangolo, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali ai restanti angoli
Dimostrazione
Siano due triangoli ABC, DEF che hanno i due lati AB, AC rispettivamente uguali ai due lati DE, DF, cioè AB uguale a DE e AC uguale a DF, e un angolo BAC uguale a un angolo EDF: dico che anche la base BC è uguale alla base EF e il triangolo ABC è uguale al triangolo DEF, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali ai restanti angoli, ABC a DEF e ACB a DFE.
Se il triangolo ABC è sovrapposto al triangolo DEF, e se il punto A è posto sul punto D e la retta AB su DE, allora il punto B coincide con E, poiché AB è uguale a DE. Ancora, coincidendo AB con DE, anche la retta AC coincide con DF, poiché l'angolo BAC è uguale all'angolo EDF. Pertanto anche il punto C coincide con il punto F, poiché anche AC è uguale a DF.
Ma anche B coincide con E, la base BC coincide quindi con la base EF ed è uguale ad essa(NC.4). L'intero triangolo ABC coincide quindi con l'intero triangolo DEF ed è uguale ad esso (NC.4).
E gli angoli restanti coincidono pure con gli angoli restanti e sono uguali ad essi, l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF, e l'angolo ACB è uguale all'angolo DEF.
Se quindi due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche l'angolo tra essi compreso, uguale all'angolo, hanno anche la base uguale alla base, e il triangolo è uguale al triangolo, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali ai restanti angoli.
La costruzione con GeoGebra: questa costruzione presenta, tratteggiati, gli elementi per una costruzione, che consenta anche la sovrapposizione dei due triangoli. In particolare, nel secondo triangolo il punto D è libero e può quindi sovrapporsi al punto A:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Punto: traccia il punto D esterno al triangolo ABC
- Circonferenza di dato raggio: disegna cerchio di centro D e raggio uguale al lato AB
- Punto: traccia un punto E su questa circonferenza
- Segmento: disegna il segmento DE
- Angolo: segna l'angolo BAC
- Angolo di data misura: disegna l'angolo di vertice D, lato DE e ampiezza uguale a BAC
- Semiretta: disegna la semiretta di origine D che forma il secondo lato dell'angolo di vertice D
- Circonferenza di dato raggio: disegna cerchio di centro D e raggio uguale al lato AC, che interseca la precedente semiretta nel punto F
- Poligono: disegna il triangolo DEF
In Geogebra è possibile verificare la relazione tra i due triangoli con il comando Relazione e confrontando poi i due triangoli.
Questa proposizione è nota come il primo criterio di congruenza per i triangoli. Euclide non introduce esplicitamente il concetto di congruenza, anche se la costruzione introdotta in questa proposizione ne riassume il significato, strettamente connesso alla sovrapposizione delle figure.
Questa proposizione è una delle più usate sia nel Libro 1 che nei Libri successivi.