LIBRO I
Prop. 5: Gli angoli sulla base dei triangoli isosceli sono uguali tra loro, e, prolungate avanti le rette uguali, gli angoli sotto la base saranno uguali tra loro
Dimostrazione
Sia ABC un triangolo isoscele che ha il lato AB uguale al lato AC (Def.1-20), e si prolunghi avanti in linea retta con AB e AC le rette BD e CE (Post.2): dico che l'angolo ABC è uguale all'angolo ACB, l'angolo CBA è uguale all'angolo BCE.
Si prenda un punto arbitrario F su BD e si sottragga dalla maggiore AE una retta AG uguale alla minore AF (Prop.1-3), e si congiungano le rette FC e GB (Post.1).
Poiché AF è uguale a AG, e AB è uguale a AC, i due lati FA e AC sono quindi uguali rispetivamente ai due lati GA e AB, e comprendono l'angolo FAG in comune. La base FC è quindi uguale alla base GB, il triangolo AFC è uguale al triangolo AGB, e i restanti angoli sono uguali rispettivamente ai restanti angoli, cioè quelli opposti ai lati uguali, cioè, l'angolo ACF è uguale all'angolo ABG, e l'angolo AFC è uguale all'angolo AGB (Prop.1-4).
E poiché AF totale è uguale a AG totale, e in questi AB è uguale a AC, il restante BF è quindi uguale al restante CG (NC3). Ma FC è stato dimostrato uguale a GB, i due lati BF e FC sono quindi uguali rispettivamente ai due lati CG e GB, e l'angolo BFC è uguale all'angolo CGB, mentre la BC è in comune tra loro. Il triangolo BFC è quindi uguale al triangolo CGB, e i restanti angoli sono uguali rispettivamente ai restanti angoli, cioè quelli opposti ai lati uguali (Prop.1-4). L'angolo FBC è quindi uguale all'angolo GCB, e l'angolo BCF è uguale all'angolo CBG.
Poiché dunque l'angolo ABG totale è stato dimostrato uguale all'angolo ACF, e in questo l'angolo CBG è uguale all'angolo BCF, il restante angolo ABC è uguale al restante angolo ACB, ed essi sono angoli alla base del triangolo ABC (NC3). Ma l'angolo FBC è stato pure dimostrato uguale all'angolo GCB, e sono angoli sotto la base.
Gli angoli sulla base dei triangoli isosceli sono uguali tra loro, e, prolungate avanti le rette uguali, gli angoli sotto la base saranno uguali tra loro..
La costruzione con GeoGebra:
- Semiretta: disegna due semirette, AD e AE, aventi come origine comune il punto A
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio a piacere, che interseca le semirette rispettivamente in B e C
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Punto su Oggetto: segna un punto F sulla semiretta AD
- Segmento: traccia il segmento AF
- Segmento di data lunghezza: trasporta su AE il segmento AG uguale a AF
- Segmento: disegna i segmenti FC e BG
Questa proposizione è usata nella Prop.1-7 e frequentemente nei Libri successivi.