Elementi di Euclide

A differenza dell'impostazione moderna, Euclide definisce anche quelli che oggi chiamiamo gli enti primitivi. Tali enti si ricollegano all'immagine intuitiva che viene ad essi associata; essi esistono già e la definizione ha il compito di individuarli.

Euclide non assume che i concetti definiti esistano o siano coerenti. I primi tre Postulati, mostrano la possibilità di costruire rette e cerchi e la loro costruzione è prova della loro esistenza. Nel seguito del libro I Euclide dimostra l'esistenza delle altre entità costruendole.

• Postulato 1: Sia stato richiesto di condurre una linea retta da ogni punto a ogni punto
  

  Questo postulato è noto come: per due punti assegnati passa una e una sola retta. La costruzione può essere fatta con un righello. L'unicità (almeno come la intendiamo oggi) non è però esplicitata nella formulazione del postulato.

• Postulato 2: E di prolungare senza soluzione di continuità una retta limitata in linea retta
  

  Questo postulato è noto come: per due punti assegnati passa una e una sola retta. La costruzione può essere fatta con un righello. L'unicità (almeno come la intendiamo oggi) non è però esplicitata nella formulazione del postulato.

  Questo postulato non dice quanto prolungare questa retta. A volte è usato per estendere una linea con un'altra uguale, a volte con un prolungamento arbitrario.

• Postulato 3: E che con ogni centro e intervallo sia tracciato un cerchio
  

  Questo postulato corrisponde alla costruzione di un cerchio con un compasso, che non può essere spostato. Esso non consente il trasporto di una distanza. É come se il compasso collassasse spostandolo nel piano. Tale opportunità sarà garantita attraverso la Prop.1-3.

• Postulato 4: E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
  

  Questo postulato afferma che un angolo al piede di una perpendicolare è uguale ad un altro angolo pure al piede di un'altra perpendicolare.

• Postulato 5: E che, qualora una retta che incide su due rette faccia minori di due retti gli angoli all'interno e dalla stessa parte, le due rette prolungate illimitatamente incidano dalla parte in cui sono gli angoli minori dei due retti
  

  Il quinto postulato, o delle rette parallele, è particolarmente interessante, perchè coinvolge (anche se implicitamente) il concetto di infinito, e per la sua forma che assomiglia più ad un teorema che ad una affermazione. Quindi Euclide dovette affrontare la gestione di un asserto che rimandava al concetto di infinito, e di considerare come postulato qualcosa che somigliava più ad un teorema. Euclide non diede una dimostrazione del quinto postulato, ma lo utilizzò solo in pochi casi (la prima volta nella dimostrazione della Prop.1-29).

  Esso è anche storicamente il più interessante. Numerosi matematici hanno tentato, nel corso dei secoli, di dimostrarlo in funzione dei primi quattro. Si è ottenuta la prova dell'impossibilità di una tale dimostrazione, dando così il via al processo che ha poi portato alla costruzione di geometrie non euclidee, che negano la validità, appunto, del quinto postulato. In particolare, all'inizio del diciannovesimo secolo, Bolyai, Lobachevsky e Gauss furono i primi a costruire nuovi tipi di geometria, con gli stessi criteri di validità di quella euclidea.