LIBRO I
Prop. 29: Una retta che incide su rette parallele forma sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti
Dimostrazione
La retta EF incida sulle rette parallele AB e CD: dico che forma gli angoli alterni AGH e GHD uguali e l'angolo esterno EGH uguale all'angolo interno e opposto GHD e quelli interni e dalla stessa parte BGH e GHD uguali a due retti.
Se l'angolo AGH è disuguale all'angolo GHD, allora uno solo di essi è maggiore. Sia l'angolo AGH il maggiore.
Si sommi l'angolo BGH ad ognuno. La somma degli angoli AGH e BGH è quindi maggiore della somma degli angoli BGH e GHD. Ma la somma degli angoli AGH e BGH è uguale a due retti (Prop.1-13). La somma degli angoli BGH e GHD è quindi minore di due retti.
Ma rette prolungate illimitatamente da meno di due retti si incontrano; pertanto AB e CD, se prolungate illimitatamente, si incontreranno. Ma esse non si incontrano, poiché sono state supposte parallele (Post.5).
Non si dà quindi il caso che l'angolo AGH sia disuguale all'angolo GHD: l'angolo AGH è quindi uguale. L'angolo AGH è uguale all'angolo EGB. Pertanto anche l'angolo EGB è uguale all'angolo GHD (Prop.1-15).
Si sommi l'angolo BGH ad ognuno. La somma degli angoli EGB e BGH è quindi uguale alla somma degli angoli BGH e GHD. Ma la somma degli angoli EGB e BGH è uguale a due retti. Anche la somma degli angoli BGH e GHD è quindi uguale a due retti.
Una retta che incide su rette parallele forma quindi sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti.
La costruzione con GeoGebra:
- Rette: disegna la retta AB
- Punto: traccia il punto C non appartenente ad AB
- Parallela: disegna la parallela CD alla retta AB (questo comando riassume la costruzione della retta parallela)
- Retta: disegna la retta trasversale EF che interseca le parallele rispettivamente in G e H
L'enunciato di questa proposizione contiene tre parti, una inversa della Prop.1-27 e le altre due inverse della Prop.1-28. Questa, inoltre, è la prima dimostrazione che utilizza il postulato sulle parallele.
Questa proposizione è spesso utilizzata nel Libro I.