LIBRO I
Prop. 28: Se una retta che incide su due rette forma un angolo all'esterno uguale a quello all'interno e opposto e dalla stessa parte o quelli all'interno e dalla stessa parte uguale a due retti, le rette saranno parallele tra loro
Dimostrazione
La retta EF che incide su due rette AB e CD formi l'angolo esterno EGB uguale a quello interno e opposto GHD o quelli interni dalla stessa parte BGH e GHD uguali a due retti: dico che AB è parallela a CD.
Poiché l'angolo EGB è uguale all'angolo GHD, e l'angolo EGB è uguale all'angolo AGH (Prop.1-15), allora l'angolo AGH è uguale all'angolo GHD. Ed essi sono alterni; AB è quindi parallela a CD (Prop.1-27).
Di nuovo, poiché la somma degli angoli BGH e GDH è uguale a due retti, e la somma degli angoli AGH e BGH è pure uguale a due retti, la somma degli angoli AGH e BGH è quindi uguale alla somma degli angoli BGH e GHD (Prop.1-13).
Si sottragga l'angolo BGH da ognuno. Allora l'angolo restante AGH è uguale all'angolo restante GHD. Ed essi sono alterni; AB è quindi parallelo a CD (Prop.1-27).
Se quindi una retta che incide su due rette forma un angolo all'esterno uguale a quello all'interno e opposto e dalla stessa parte o quelli all'interno e dalla stessa parte uguale a due retti, le rette saranno parallele tra loro
La costruzione con GeoGebra:
- Rette: disegna la retta AB e la trasversale EF, che si incontrano in G
- Punto: traccia il punto H sulla trasversale EF
- Angolo: segna l'angolo EGB
- Angolo di data Ampiezza: trasporta l'angolo EGB in GHD
- Retta: disegna la retta passante per G e D, che sarà la parallela
Questa proposizione enuncia due varianti minori della precedente. I tre enunciati differiscono solo per le ipotesi che sono identificabili come equivalenti basandosi sulla proposizione Prop.1-13.
Questa proposizione è utilizzata nei Libri IV e XI.