Elementi di Euclide

Il Libro X di dimensioni veramente notevoli presenta mediante una struttura deduttiva rigorosa una classificazione delle linee irrazionali. Viene introdotta inizialmente la definizione di grandezze commensurabili, per passare poi ad una trattazione dei numeri che saranno chiamati appunto irrazionali, sempre trattati in forma geometrica.

Il Libro X contiene 16 definizioni e ben 115 proposizioni, che sono divise anche qui in tre parti, secondo lo schema euclideo.

DEFINIZIONI

• Def. 1: Grandezze commensurabili sono quelle misurate con la stessa misura, incommensurabili quelle che non possono avere una misura comune
• Def 2: Rette sono commensurabili in potenza quando i quadrati su di esse sono misurati dalla stessa area, e incommensurabli in potenza quando i quadrati su di esse non possono avere una possibile area come misura comune.
• Def. 3: Supposto ciò, si dimostra che vi sono rette illimitate in molteplicità sia commensurabili che incommensurabili con la retta proposta, alcune solo in lunghezza, altre anche coi quadrati. Sia chiamata razionale la retta assegnata, e razionali quelle con essa commensurabili, sia in lunghezza che nel quadrato, o nel solo quadrato, e irrazionali quelle che sono incommensurabili con questa.
• Def. 4: E sia detto razionale il quadrato sulla retta assegnata, e razionali quelle aree che sono commensurabili con essa , e irrazionali quelle che sono incommensurabili con essa, e irrazionali le rette che le producono, cioè, nel caso le aree sono quadrati, i lati stessi, ma nel caso sono altre figure rettilinee, le rette sulle quali sono descritti quadrati uguali ad esse.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Fissate due grandezze disuguali, se dalla maggiore è sottratta una grandezza maggiore della sua metà, e dalla parte restante una grandezza maggiore della sua metà, e così si procede successivamente, allora rimarrà una certa grandezza minore della grandezza minore fissata.
• Prop. 2: quando la minore di due grandezze disuguali è sottratta reciprocamente con continuità dalla maggiore, quella che rimane non misura mai completamente quella prima di se stessa, allora le due grandezze sono incommensurabili.
• Prop. 3: Trovare la massima misura comune di due grandezze commensurabili date.
  Corollario: Se una grandezza misura due grandezze, allora misura anche la loro massima misura comune.
• Prop. 4: vare la massima misura comune di tre grandezze commensurabili date.
  Corollario: Se una grandezza misura tre grandezze, allora misura anche la loro massima misura comune.
• Prop. 5: Grandezze commensurabili tra loro hanno rapporto come di un numero rispetto a un numero.
• Prop. 6: Se due grandezze hanno tra loro il rapporto che un numero ha con un numero, allora le grandezze sono commensurabili..
• Prop. 7: Le grandezze incommensurabili tra loro non hanno il rapporto che un numero ha con un numero.
• Prop. 8: Se due grandezze non hanno tra loro il rapporto che un numero ha con un numero, allora le grandezze sono incommensurabili.
• Prop. 9: I quadrati sulle rette commensurabili in lunghezza hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; e i quadrati che tra loro hanno il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, hanno anche i loro lati commensurabili in lunghezza. Ma i quadrati su rette incommensurabili in lunghezza non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; e i quadrati che non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, non hanno neanche i loro lati commensurabili in lunghezza.
  Corollario: Rette commensurabili in lunghezza sono sempre commensurabili anche in potenza, ma quelle commensurabili in potenza non sono sempre commensurabili in lunghezza.
  Lemma: Nei libri aritmetici è stato dimostrato che numeri piani simili stanno tra loro come un numero quadrato sta a un numero quadrato, e se due numeri stanno tra loro come un numero quadrato, allora sono numeri piani simili. E numeri che non sono numeri piani simili, cioè quelli che non hanno i lati in proporzione, non stanno tra loro come un numero quadrato sta a un numero quadrato.
  Corollario 2: Numeri che non sono piani simili, cioè, quelli che non hanno i loro lati in proporzione, non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.
• Prop. 10: Trovare due rette incommensurabili, una solo in lunghezza, e l'altra anche in potenza, con una rretta data.
• Prop. 11: Se quattro grandezze sono in proporzione, e la prima è commensurabile alla seconda, allora anche la terza è commensurabile alla quarta; ma, se la prima è incommensurabile alla seconda, allora anche la terza è incommensurabile alla quarta.
• Prop. 12: Grandezze commensurabili con la stessa grandezza sono anche commensurabili tra loro.
• Prop. 13: Se due grandezze sono commensurabili, e una di esse è incommensurabile con con una certa grandezza, allora anche la restante è incommensurabile con la stessa.
• Prop. 14: Se quattro rette sono in proporzione, e il quadrato sulla prima è maggiore del quadrato sulla seconda per il quadrato sulla retta commensurabile con la prima, allora anche il quadrato sulla terza è maggiore del quadrato sulla quarta per il quadrato sulla terza commensurabile con la terza. E, se il quadrato sulla prima è maggiore del quadrato sulla seconda per il quadrato sulla retta incommensurabile con la prima, allora anche il quadrato sulla terza è maggiore del quadrato sulla quarta per il quadrato sulla terza incommensurabile con la terza.
  Lemma: Date due rette disuguali, trovare per quale quadrato il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore.
• Prop. 15: Se due grandezze commensurabili sono sommate, allora anche quella totale è commensurabile con ognuna di esse; e, se quella totale è commensurabile con ognuna di esse, allora anche le grandezze in origine sono commensurabili.
• Prop. 16: Se due grandezze incommensurabili sono sommate, anche quella totale è incommensurabile con ognuna di esse; ma, se la somma è incommensurabile con una sola di esse, allora anche le grandezze in origine sono incommensurabili.
• Prop. 17: Se vi sono due rette disuguali, e alla maggiore è applicato un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma facente difetto per un quadrato, e se la divide in parti commensurabili in lunghezza, allora il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore di un quadrato su una retta commensurabile con la maggiore. E se il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta commensurabile con la maggiore, e se è applicato alla maggiore un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore facente difetto di un quadrato, allora la divide in parti commensurabili in lunghezza.
  Lemma: Se a una certa retta è applicato un parallelogrammo che fa difetto di un quadrato, allora il parallelogrammo applicato è uguale al rettangolo contenuto dai segmenti della retta risultante dall'applicazione.
• Prop. 18: Se vi sono due rette disuguali, e alla maggiore è applicato un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma facente difetto di un quadrato, e se la divide in parti incommensurabili, allora il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta incommensurabile con la maggiore. E se il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta incommensurabile con la maggiore, e se è applicato alla maggiore un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma dacente difetto per un quadrato, allora la divide in parti incommensurabili.
• Prop. 19: Il rettangolo contenuto da rette razionali commensurabili in lunghezza è razionale.
  Lemma
• Prop. 20: Se un'area razionale è applicata ad una retta razionale, allora produce come larghezza una retta razionale e commensurabile in lunghezza con la retta alla quale è applicata.
• Prop. 21: Il rettangolo compreso da rette razionali commensurabili soltanto in potenza è irrazionale, e la retta, il cui quadrato sia ad esso uguale, è irrazionale: e si chiami mediale.
• Prop. 22: Il quadrato su una mediale, se applicato ad una retta razionale, produce come larghezza una retta razionale e incommensurabile in lunghezza con quella a cui è applicato.
  Lemma: Se vi sono due rette, allora la prima sta alla seconda come il quadrato sulla prima sta al rettangolo contenuto dalle due rette.
• Prop. 23: Una retta commensurabile con una mediale è mediale.
  Corollario: Un'area commensurabile con un'area mediale è mediale.
• Prop. 24: Il rettangolo contenuto da rette mediali commensurabili in lunghezza è mediale.
• Prop. 25: Il rettangolo contenuto da rette mediali commensurabili solo in potenza è o razionale o mediale.
• Prop. 26: Un'area mediale non eccede un'area mediale per un'area razionale.
• Prop. 27: Trovare mediali commensurabili in potenza che contengano solo un rettangolo razionale.
• Prop. 28: Trovare mediali commensurabili soltanto in potenza che contengono un rettangolo mediale.
• Prop. 29: Trovare due rette razionali commensurabili in potenza soltanto tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con la maggiore.
  Lemma 1: Trovare due numeri quadrati tali che la loro somma è ancora un quadrato.
  Lemma 2: Trovare due numeri quadrati tali che la loro somma non è un quadrato.
• Prop. 30: Trovare due rette razionali commensurabili in potenza soltanto tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta incommensurabtle in lunghezza con la maggiore.
• Prop. 31: Trovare due mediali commensurabili in potenza soltanto, contenenti un rettangolo razionale, tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta commensurabile in lunghezza con la maggiore.
• Prop. 32: Trovare due mediali commensurabili in potenza soltanto, contenenti un rettangolo mediale, tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta commensurabile in lunghezza con la maggiore.
• Prop. 33: Trovare due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale ma il rettangolo da esse contenuto mediale.
• Prop. 34: Trovare due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo da esse contenuto razionale.
• Prop. 35: Trovare due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediali e il rettangolo contenuto da esse mediali e ancora incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse.
• Prop. 36: Se si sommano due rette razionali commensurabili solo in potenza, allora quella totale è irrazionale e sia chiamata binomiale.
• Prop. 37: Se si sommano due rette mediali commensurabili solo in potenza e contententi un rettangolo razionale, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata la prima bimediale.
• Prop. 38: Se si sommano due rette mediali commensurabili solo in potenza e contenenti un rettangolo mediale, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata la seconda bimediale.
• Prop. 39: Se si sommano due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale ma il rettangolo contenuto da esse mediale, allora quella totale è irraztionale; sia chiamata maggiore.
• Prop. 40: Se si sommano due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo contenuto da esse razionale, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata la retta potenziante un’area razionale più un’area mediale.
• Prop. 41: Se si sommano due rette incommensurabili in potenza che fanno sia la somma dei quadrati su di esse sia il rettangolo da esse contenuto mediali e incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata retta potenziante la somma di due aree mediali.
• Prop. 42: Una retta binomiale si divide nei suoi termini secondo un punto soltanto.
• Prop. 43: Una retta prima bimediale si divide secondo un punto soltanto.
• Prop. 44: Una retta seconda bimediale si divide secondo un punto soltanto.
• Prop. 45: Una retta maggiore si divide secondo lo stesso punto soltanto.
• Prop. 46: Il lato di un razionale più un'area mediale si divide in un punto soltanto.
• Prop. 47: Il lato della somma di due aree mediali si divide in un punto soltanto.