Elementi di Euclide

Prop.48: Trovare una binomiale prima

Dimostrazione

Siano fissati due numeri AC e CB tali che la loro somma AB abbia con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, ma che non ha con CA il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato (Prop.10-29-Lemma 1). Sia fissata una certa retta razionale D, e sia EF commensurabile in lunghezza con D. Anche EF è quindi razionale.

E risulti essere che il numero BA sta a AC come il quadrato su EF sta al quadrato su FG (Prop.10-6-Cor). Ma AB ha con AC il rapporto che un numero ha con un numero, pertanto anche il quadrato su EF ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero ha con un numero, così che il quadrato su EF è commensurabile con il quadrato su FG (Prop.10-6).

Ma EF è razionale, anche FG è quindi razionale. E poiché BA non ha con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, nemmeno il quadrato su EF ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. EF è quindi incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9). EF e FG sono quindi rette razionali commensurabili solo in potenza. EG è allora binomiale (Prop.10-36).

Dico che è anche una retta binomiale prima.

Poiché il numero BA sta a AC come il quadrato su EF sta al quadrato su FG, mentre BA è maggiore di AC, allora anche il quadrato su EF è maggiore del quadrato su FG. Sia allora la somma dei quadrati su FG e H uguale al quadrato su EF.

Ora poiché BA sta a AC come il quadrato su EF sta al quadrato su FG, allora, convertendo, AB sta a BC come il quadrato su EF sta al quadrato su H (Prop.5-19-Cor). Ma AB ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto anche il quadrato su EF ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.

EF è quindi commensurabile in lunghezza con H. Il quadrato su EF è quindi maggiore del quadrato su FG per il quadrato su una retta commensurabile con EF (Prop.10-9). Ma EF e FG sono razionali, e EF è commensurabile in lunghezza con D. Pertanto EF è una retta binomiale prima.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti AC, CB, D, EF (AC e CB in rosso ad indicare che sono numeri)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(ACxEFxEF/BA)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(EFxEF-FGxFG)