LIBRO V
Prop.19: Se un intero sta a un intero come una parte sottratta sta alla parte sottratta, allora la restante sta alla restante come l'intero sta all'intero
Dimostrazione
Stia l'intero AB all'intero CD come la parte AE sottratta sta alla parte CF sottratta: dico che il restante EB sta al restante FD come l'intero AB sta all'intero CD.
Poiché AB sta a CD come AE sta a CF, allora alternando, BA sta ad AE come DC sta a CF (Prop.5-16). E poiché le grandezze composte sono proporzionali, essere lo sono anche separatamente (Prop.5-17), cioè, BE sta a EA come DF sta a CF, e, alternando, BE sta a DF come EA sta a FC (Prop.5-16).
Ma è stato supposto che AE sta a CF come l'intero AB sta all'intero CD. Pertanto il restante EB sta al restante FD come l'intero AB sta all'intero CD (Prop.5-11).
Se quindi un intero sta a un intero come una parte sottratta sta alla parte sottratta, allora la restante sta alla restante come l'intero sta all'intero.
Corollario: Se grandezze composte sono in proporzione, allora sono in proporzione anche convertendo.
- Segmento: disegna i segmenti AB, CD
- Segmento: disegna il segmento AE con E interno al segmento AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CD = AExCD/AB
Questa proposizione afferma che se
\((a+b) : (c+d)\) è uguale a \(b : d\), allora è uguale anche a \(a : c\).
Questa proposizione è usata nella Prop.5-25.