LIBRO V
Prop.1: Se un dato un numero qualsiasi di grandezze che sono, rispettivamente, equimultiple dello stesso numero di altre grandezze, allora la somma è quel multiplo della somma
Dimostrazione
Sia dato un numero di grandezze a piacere AB e CD e oguna sia equimultipla di grandezze rispettivamente E e F (Def.5-2): dico che la somma di AB e CD è equimultipla della somma di E e F così come AB lo è di E.
Poichè AB è equimultiplo di E e CD di F, allora vi sono tante grandezze in AB uguali a E quante ve ne sono in CD uguali a F. Si divida AB nelle grandezze AG, GB uguali ad E, e si divida CD in CH, HD uguali ad F. Il numero di grandezze AG e GB è quindi uguale al numero di grandezze CH e HD.
E poiché AG è uguale a E, e CH è uguale a F, la somma di AG e CH è quindi uguale alla somma di E e F. Per gli stessi motivi GB è uguale a E, e la somma di GB e HD è uguale alla somma di E e F. Pertanto, tante grandezze vi sono in AB uguali ad E tante ve ne sono nella somma di AB e CD uguale alla somma di E e F. La somma di AB e CD è quindi equimultipla della somma di E e F come AB lo è di E.
Pertanto, se un dato un numero qualsiasi di grandezze che sono, rispettivamente, equimultiple dello stesso numero di altre grandezze, allora la somma è quel multiplo della somma.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti E e F
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti 2E e 2F
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti E+F e 2E+2F
Usando l'attuale notazione algebrica, questa proposizione rappresenta la simmetrica della proprietà distributiva di un insieme con le operazioni di addizione e moltiplicazione (in pratica il raccoglimento a fattor comune)
\(ma+mb+mc+... = m(a+b+c+ ...)\)
Qui, m è un numero, e le lettere a, b, c, ... sono grandezze omogenee. La dimostrazione di Euclide riguarda il caso più semplice in cui m = 2 e le grandezze considerate sono pure due.
Questa proposizione è usata numerose volte nel Libro V.