LIBRO V
Prop.2: Se una prima grandezza è equimultipla di una seconda, così come una terza di una quarta, e anche una quinta è equimultipla di una seconda così come la sesta lo è della quarta, allora la somma della prima e della quinta è equimultipla della seconda così come la somma della terza e della sesta lo è della quarta
Dimostrazione
Sia una prima grandezza AB equimultipla di una seconda C così come una terza DE è di una quarta F, e sia una quinta BG equimultipla della seconda C così come una sesta EH è della quarta F (Def.5-2): dico che la somma AG della prima e della quinta è equimultipla della seconda, C, così come la somma DH della terza e della sesta è della quarta, F.
Poichè AB è equimultiplo di C e DE di F, allora quante grandezze sono in AB uguali a C, tante sono in DE uguali a F. Per gli stessi motivi quante grandezze sono in BG uguali a C tante ve ne sono in EH uguali a F. Quante sono quindi in AG totale uguali a C così tante ve ne sono in DH totale uguali a F.
AG è quindi equimultiplo di C e DH di F. Pertanto, la somma AG della prima e e della quinta è equimultipla della seconda, C, così come la somma DH della terza e della sesta lo è della quarta, F.
Se una prima grandezza quindi è equimultipla di una seconda, così come una terza di una quarta, e anche una quinta è equimultipla di una seconda così come la sesta lo è della quarta, allora la somma della prima e della quinta è equimultipla della seconda così come la somma della terza e della sesta lo è della quarta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti C e F
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti AB = 3C e DE = 3F
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti BG = 2C e EH = 2F
Questa proposizione stabilisce che somme di equimultipli sono equimultiple, cioé, se mc e mf sono equimultiple di c e f, e anche nc e nf sono equimultiple di c e f, allora le somme \(mc+nc\) e \(mf+nf\) sono pure equimultiple di c e di f. La dmostrazione é legata ad una specie di proprietà distributiva, cioé,
\((m+n)c = mc+nc\)
In questo caso le grandezze non sono tutte omogenee. La figura mostra diversi colori per sottolineare tale aspetto.
Questa proposizione é usata nella Proposizione successiva.