LIBRO V
Prop.3: Se una prima grandezza è equimultipla di una seconda così come una terza di una quarta, e se si prendono equimultipli sia della prima che della terza, allora le grandezze prese sono pure, rispettivamente, equimultiple una della seconda e l'altra della quarta
Dimostrazione
Sia una prima grandezza A equimultipla di una seconda B così come una terza C di una quarta D, e si prendano gli equimultipli EF e GH di A e C (Def.5-2): dico che EF è equimultiplo di B così come GH di D.
Poiché EF è equimultiplo di A e GH di C, vi sono quindi tante grandezze in EF uguali ad A quante ve ne sono in GH uguali a C. Si divida EF nelle grandezze EK e KF uguali ad A, e si divida GH nelle grandezze GL e LH uguali a C. Allora il numero di grandezze EK e KF è uguale al numero di grandezze GL e LH. E poiché A è equimultiplo di B così come C di D, mentre EK è uguale ad A, e GL è uguale a C, EK è quindi equimultiplo di B e GL di D.
Per gli stessi motivi KF è equimultiplo di B e LH di D. Poiché una prima grandezza EK è equimultipla di una seconda B così come una terza GL lo è di una quarta D, e una quinta KF è equimultipla della seconda B come una sesta LH lo è della quarta D, la somma EF della prima e della quinta è quindi equimultipla della seconda B così come la somma GH della terza e della sesta lo è della quarta D (Prop.5-2).
Se una prima grandezza è quindi equimultipla di una seconda così come una terza di una quarta, e se si prendono equimultipli sia della prima che della terza, allora le grandezze prese sono pure, rispettivamente, equimultiple una della seconda e l'altra della quarta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti B e D
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti A = 3B e C = 3D
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti EF = 2A e GH = 2C
Questa proposizione afferma che equimultipli di equimultipli sono ancora equimultipli, cioé, se a e b sono equimultipli di c e d, e u and v sono equimultipli di a e b, allora u e v sono equimultipli di c e d.
La dimostrazione deriva dalla proprietà associativa della moltiplicazione: \(m(nc) = (mn)c\). In figura n = 3 e m = 2.
Questa proposizione é usata nella Proposizione successiva.