LIBRO V
Prop.4: Se il rapporto tra una prima e una seconda grandezza è lo stesso di quello tra una terza e una quarta, allora anche gli equimultipli sia del primo che del terzo rispetto agli equimultipli del secondo e del quarto, per un qualsiasi multiplo dato, avranno lo stesso rapporto presi in ordine corrispondente
Dimostrazione
Abbia una prima grandezza A con una seconda B lo stesso rapporto di una terza C con una quarta D, e si prendano gli equimultipli E e F di A e C, e altri, come capita, G e H, equimultipli di B e D: dico che E sta a G come F sta a H.
Si prendano infatti gli equimultipli K e L di E e F, e altri equimultipli M e N, come capita, di G e H.
Poiché E è equimultiplo di A come F di C, e sono stati presi gli equimultipli K e L di E e F, allora K è equimultiplo di A come L di C. Per gli stessi motivi M è equimultiplo di B come N di D. (Prop.5-3).
E poiché A sta a B come C sta a D, e sono stati presi gli equimultipli K e L di A e C, e altri, come capita, equimultipli M e N di B e D, se quindi K eccede M, allora L eccede N; se è uguale, è uguale; e se minore, minore (Def.5-5). E K e L sono equimultipli di E e F, e M e N sono altri, come capita, equimultipli di G e H, allora E sta a G come F sta a H.
Se il rapporto tra una prima e una seconda grandezza è quindi lo stesso di quello tra una terza e una quarta, allora anche gli equimultipli sia del primo che del terzo rispetto agli equimultipli del secondo e del quarto, per un qualsiasi multiplo dato, avranno lo stesso rapporto presi in ordine corrispondente.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Segmento di data lunghezza: disegna il segmento D uguale a BxC/A
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti E = 2A, G = 3B, K = 2E, M = 3G
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti F = 2C, H = 3D, L = 2F, N = 3F
In termini algebrici moderni,
\(a:b = c:d, \Rightarrow ma:nb = mc:nd\)
Questa proposizione è usata nella Prop.5-22.