LIBRO V
Prop.22: Se vi sono quante si vuole grandezze e altre uguali ad esse in molteplicià, che prese due a due sono nello stesso rapporto, allora anche tramite uguale sono nello stesso rapporto
Dimostrazione
Vi sia un numero qualsiasi di grandezze A, B, C e altre D, E, F uguali ad esse in molteplicità, che prese a due a due stanno nello stesso rapporto, così che A sta a B come D sta a E e B sta a C come E sta a F: dico che stanno pure nello stesso rapporto tramite uguale, cioè, A sta a C come D sta a F (Def.5-17).
Si prendano gli equimultipli G, H di A, D, e se ne prendano altri, come capita, K, L di B, E e, ancora, presi altri, come capita, equimultipli M, N di C, F.
E poiché A sta a B come D sta a E, e risultano presi di A e D equimultipli G e H, e di B ed E altri, come capita, equimultipli K e L, allora G sta a K come H sta a L (Prop.5-4). Per gli stessi motivi anche K sta a M come L sta a N.
E poiché i sono tre grandezze G, K, M e altre H, L, N uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, allora, tramite uguale, se G eccede M, anche H eccede N; se è uguale, è uguale; e se minore, minore (Prop.5-20). G e H sono equimultipli di A e D, e M e N altri, come capita, equimultipli di C e F. A sta quindi a C come D sta a F (Def.5-5).
Se quindi vi sono quante si vuole grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, allora anche tramite uguale sono nello stesso rapporto.
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = BD/A e il segmento F = CE/B
- Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti G = 2A, H = 2D, M = 2C, N = 2F, K = 3B, L = 3E
L'enunciato generale di questa proposizione è che per grandezze \(x_1, x_2, ..., x_n\) e \(y_1, y_2, ..., y_n\) omogenee, se
\(x_1:x_2 = y_1:y_2\), \(x_2:x_3 = y_2:y_3\) e \(,..., x_{n-1}:x_n = y_{n-1}:y_n\) allora \(x_1:x_n = y_1:y_n\).
Questa proposizione è usata nella Prop.5-24.