LIBRO V
Prop.21: Se vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e la cui proporzione è perturbata, allora, se tramite uguale la prima è maggiore della terza, allora la quarta è pure maggiore della sesta; se è uguale, sarà uguale, e, se minore, minore
Dimostrazione
Siano tre grandezze A, B, C e altre D, E, F uguali in molteplicità, che prese a due a due stanno nello stesso rapporto, e la loro proporzione sia perturbata, così che A sta a B come E sta a F, e B sta a C come D sta a E (Def.5-18). E tramite uguale sia A maggiore di C: dico che D è maggiore di F; se A è uguale a C, è uguale; e, se minore, minore.
Poiché A è maggiore di C, e B una certa altra grandezza, A ha quindi con B un rapporto maggiore di C con B (Prop.5-8). Ma A sta a B come E sta a F e C sta a B, invertendo, come E sta a D (Prop.5-7-Cor), allora E ha con F un rapporto maggiore di E con D (Prop.5-13).
E la grandezza rispetto a cui la stessa ha rapporto maggiore, quella è minore (Prop.5-10), pertanto F è minore di D, D è quindi maggiore di F. Analogamente si dimostra che, se A è uguale a C, allora anche D è uguale a F; e se minore, è minore.
Se quindi vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e la cui proporzione è perturbata, allora, se tramite uguale la prima è maggiore della terza, allora la quarta è pure maggiore della sesta; se è uguale, sarà uguale, e, se minore, minore.
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = CD/B e il segmento F = BE/A
Questa proposizione serve a preparare la dimostrazione della Prop.5-23.