LIBRO V
Prop.10: Delle grandezze che hanno lo stesso rapporto con la stessa, quella che ha un rapporto maggiore è la maggiore; e quella rispetto a cui la stessa ha rapporto maggiore, è minore
Dimostrazione
Abbia infatti la grandezza A rapporto maggiore della grandezza B con C: dico che A è maggiore di B.
Se infatti no, allora A è uguale o minore di B.
Ora A non è uguale a B, perché in questo caso ciascuna delle grandezze A e B avrebbe lo stesso rapporto con C, ma non lo hanno, pertanto A non è uguale a B (Prop.5-7).
Neppure A è minore di B, perché in questo caso A avrebbe con C un rapporto minore di B rispetto a C; ma non lo ha, pertanto A non è minore di B (Prop.5-8). Ma è stato dimostrato non essere neppure uguale, A è quindi maggiore di B.
Abbia ora C rispetto a B un rapporto maggiore di quello di C con A: dico che B è minore di A.
Se infatti no, è o maggiore o uguale.
Ora B non è uguale ad A, perché in questo caso C avrebbe lo stesso rapporto con ognuna delle grandezze A e B, ma non lo ha, pertanto A non è uguale a B (Prop.5-7).
Neppure B è maggiore di A, perché in questo caso C dovrebbe avere rispetto a B un rapporto minore che rispetto ad A, ma non lo ha, pertanto B non è maggiore di A (Prop.5-8). Ma è stato dimostrato che non è neppure uguale, B è quindi minore di A.
Delle grandezze che hanno lo stesso rapporto con la stessa, quella che ha un rapporto maggiore è quindi la maggiore; e quella rispetto a cui la stessa ha rapporto maggiore, è minore.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B e C con B < A
(per avere B < A, disegnare un segmento B uguale ad A, scegliere poi un punto interno a questo segmento)
Questa proposizione presenta due enunciati:
Se \(a:c > b:c\) allora \(a > b\)
Se \(c:b > c:a\) allora \(b < a\)
Questa proposizione è usata alcune volte nei Libri successivi.