Elementi di Euclide

Prop.8: Delle grandezze disuguali, la maggiore rispetto alla stessa ha rapporto maggiore della minore; e la stessa rispetto alla minore ha rapporto maggiore che rispetto alla maggiore

Dimostrazione

Siano AB e C grandezze disuguali, e sia AB la maggiore, e sia D un'altra grandezza come capita: dico che AB ha con D un rapporto maggiore di quello di C con D, e D ha con C un rapporto maggiore di quello che ha con AB.

Poiché AB è maggiore di C, si prenda EB uguale a C. Allora la minore delle grandezze AE e EB, se ne siano presi multipli, sarà prima o poi maggiore di D (Def.5-4).

Sia in primo luogo AE minore di EB e siano presi multipli di AE, e sia FG un suo multiplo che è maggiore di D e quante volte FG è multiplo di AE, tante volte risulti multiplo anche GH di EB e K di C. Si prenda L doppio di D e M triplo di D, e multipli successivi aumentando di uno, finché ciò che è preso risulti multiplo di D che è maggiore di K. Sia preso, e sia N che è quadruplo di D e in primis maggiore di K (Def.5-4).

Poiché K è minore in primis minore di N, allora K non è minore di M. E poiché FG è equimultiplo di AE come GH di EB, FG è quindi equimultiplo di AE come FH di AB (Prop.5-1).

Ma FG è equimultiplo di AE come K di C, FH è quindi equimultiplo di AB come K di C. FH e K sono quindi equimultipli di AB e C. Ancora, poiché GH è equimultiplo di EB come K di C, e EB è uguale a C; GH è quindi uguale a K. Ma K non è minore di M, neanche GH è quindi minore di M. E FG è maggiore di D, FH totale è quindi maggiore della somma di D e M.

Ma la somma di D e M è uguale a N, poiché appunto M è proprio triplo di D, e la somma di M e D è quadrupla di D, mentre anche N è quadruplo di D; la somma di M e D è quindi uguale a N. Ma FH è maggiore della somma di M e D, pertanto FH eccede N, mentre K non eccede N. E FH e K sono equimultipli di AB e C, mentre N è un altro multiplo come capita di D; AB ha quindi con D un rapporto maggiore di quello di C con D.

Dico ora che D ha con C un rapporto maggiore di quello di D con AB.

Con le stesse costruzioni, si può dimostrare analogamente che N eccede K, mentre N non eccede FH. E N è un multiplo di D, mentre FH e K sono altri equimultipli come capita di AB e C; pertanto D ha con C un rapporto maggiore di quello di D con AB (Def.5-7).

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB, C e D, con C minore di AB
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio C e centro B che interseca AB in E
• Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti FG = 2AE, GH = 2C, K = 2C, L = 2D, M = 3D e N = 4D

Sia ora AE maggiore di EB.

Pertanto la minore, EB, se se ne prendono multipli, sarà prima o poi maggiore di D (Def.5-4). Si prendano multipli, e sia GH un multiplo di EB e maggiore di D. Si prenda FG equimultiplo di AE, e K equimultiplo di C come GH di EB. Si può allora dimostrare in modo analogo che FH e K sono equimultipli di AB e C, e, analogamente, si prenda N come primo multiplo di D che è maggiore di FG, così che di nuovo FG non è minore di M.

Ma GH è maggiore di D, FH totale eccede quindi la somma di D e M, cioè di N. Ora K non eccede N, poiché appunto anche FG, che è maggiore di GH, cioè di K, non eccede N. E allo stesso modo, traendo le stesse conseguenze, si completa la dimonstrazione.

Delle grandezze disuguali, la maggiore rispetto alla stessa ha quindi rapporto maggiore della minore; e la stessa rispetto alla minore ha rapporto maggiore che rispetto alla maggiore.

La costruzione con Geogebra è pressoché identica all'altra con la variante che AE > EB

L'enunciato di questa proposizione è semplice, non altrettanto la sua dimostrazione. Stabilisce che se \(x > y\), allora \(x:z > y:z\) ma \(z:x < z:y\)

Questa proposizione è usata alcune volte nel Libro V, a partire dalla proposizione successiva.