Elementi di Euclide

Prop.9: Grandezze che rispetto alla stessa hanno lo stesso rapporto sono uguali tra loro; e grandezze rispetto alle quali la stessa ha lo stesso rapporto, sono uguali

Dimostrazione

Abbia infatti ciascuna grandezza A e B lo stesso rapporto con C: dico che A è uguale a B.

Se infatti no, ciascuna delle grandezze A e B avrebbe lo stesso rapporto con C, ma non lo ha, A è quindi uguale a B (Prop.5-8).

Ora, C abbia lo stesso rapporto con ciascuna delle grandezze A e B: dico che A è uguale a B.

Se infatti no, C non avrebbe lo stesso rapporto con ognuna delle grandezze A e B, ma non lo ha; A è quindi uguale a B (Prop.5-8).

Grandezze che rispetto alla stessa hanno quindi lo stesso rapporto sono uguali tra loro; e grandezze rispetto alle quali la stessa ha lo stesso rapporto, sono uguali.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento A
• Compasso: disegna la circonferenza di raggio uguale al segmento A e centro nel punto B
• Segmento: disegna il segmento C

Questa proposizione presenta due enunciati:

Se \(a:c = b:c\), allora \(a = b\)

Se \(c:a = c:b\) allora \(a = b\)

Questa proposizione è usata alcune volte nei Libri successivi.