Elementi di Euclide

Il Libro III contiene 11 definizioni e 37 proposizioni e tratta la teoria dei cerchi.

Questi Libro è collegato al Libro primo, perchè ne applica numerosi teoremi. Un legame è presente anche con il Libro II, di cui applica la V e la VI proposizione e crea numerose premesse per le costruzioni del libro IV.

Significativa è la prop. 16, che dimostra che tra la retta tangente e la circonferenza di un cerchio non può esservi alcuna retta uscente dal punto di contatto. Ciò determina che l'angolo compreso ta la circonferenza e la tangente è sempre minore di qualsiasi angolo acuto rettilineo.

DEFINIZIONI

• Def. 1: Cerchi uguali sono quelli i cui diametri sono uguali, o i cui raggi sono uguali.
• Def. 2: Tangente a un cerchio è quella retta che, toccando il cerchio e prolungata, non seca il cerchio.
• Def. 3: Sono detti essere tangenti tra loro cerchi che, toccandosi tra loro, non si secano tra loro.
• Def. 4: In un cerchio rette sono dette distare ugualmente dal centro quando le rette condotte dal centro perpendicolari siano uguali.
• Def. 5: Ed è detta distare di più quella su cui cade la perpendicolare maggiore.
• Def. 6: Segmento di un cerchio è la figura compresa sia da una retta che da un arco di cerchio.
• Def. 7: E angolo di un segmento è quello compreso sia da una retta che da un arco di cerchio.
• Def. 8: E angolo in un segmento è, quando sull'arco del segmento sia preso un certo punto e da esso fino ai limiti della retta che è base del segmento siano congiunte rette, l'angolo compreso dalle rette congiunte.
• Def. 9: E quando le rette che comprendono l'angolo stacchino un certo arco, l'angolo è detto insistere su quello.
• Def. 10: E settore di un cerchio è, quando sia costruito un angolo sul centro del cerchio, la figura compresa sia dalle rette che comprendono l'angolo che dall'arco staccato da esse.
• Def. 11: Segmenti simili di cerchi sono quelli capaci di angoli uguali, o gli angoli nei quali sono uguali tra loro.

PROPOSIZIONI

• Prop. 1: Trovare il centro del cerchio dato.
• Prop. 2: Qualora sulla circonferenza di un cerchio siano presi due punti come càpita, la retta congiunta ai punti cadrà all'interno del cerchio.
• Prop. 3: Qualora in un cerchio una certa retta per il centro sechi a metà una certa retta non per il centro, la seca anche ad angoli retti; e qualora la sechi ad angoli retti, la seca anche a metà.
• Prop. 4: Qualora in un cerchio due rette che non sono per il centro si sechino tra loro, non si secano tra loro a metà.
• Prop. 5: Qualora due cerchi si sechino tra di loro, il loro centro non sarà lo stesso.
• Prop. 6: Qualora due cerchi siano tangenti tra loro, il loro centro non sarà lo stesso.
• Prop. 7: Qualora sul diametro di un cerchio sia preso un certo punto che non è centro del cerchio, e dal punto incidano sul cerchio certe rette, massima sarà quella su cui è il centro, minima la parte restante, delle altre, in successione la più vicino a quella per il centro è maggiore di quella più lontano, e soltanto due rette uguali incideranno dal punto sul cerchio da una e dall'altra parte di quella minima.
• Prop. 8: Qualora all'esterno di un cerchio sia preso un certo punto, e dal punto siano condotte oltre certe rette al cerchio, una sola delle quali per il centro, le restanti come càpita, massima delle rette che incidono sull'arco concavo di circonferenza è quella per il centro, delle altre, in successione la più vicino a quella per il centro è maggiore di quella più lontano, e minima delle rette che incidono sull'arco convesso di circonferenza è quella sua tra il punto che il diametro, delle altre, in successione la più vicino è quella minima è minore di quella più lontano, e soltanto due rette uguali incideranno dal punto sul cerchio da una e dall'altra parte di quella minima.
• Prop. 9: Qualora sia preso un certo punto all'interno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio più di due rette uguali, il punto preso è centro del cerchio.
• Prop. 10: Un cerchio non seca un cerchio in più di due punti.
• Prop. 11: Qualora due cerchi siano tangenti tra loro all'interno, e siano presi i loro centri, la retta congiunta ai loro centri e prolungata cadrà sul contatto comune dei cerchi.
• Prop. 12: Qualora due cerchi siano tangenti tra loro all'esterno, la retta che congiunge i loro centri passerà per il punto di tangenza.
• Prop. 13: Un cerchio non è tangente a un cerchio per più di un punto, sia qualora sia tangente internamente sia qualora lo sia esternamente.
• Prop. 14: In un cerchio le rette uguali distano ugualmente dal centro, e quelle che distano ugualmente dal centro sono uguali tra loro.
• Prop. 15: In un cerchio retta massima è il diametro, delle altre, in successione quella più vicino al centro è maggiore di quella più lontano.
• Prop. 16: La retta condotta ad angoli retti con il diametro del cerchio da un suo estremo cadrà all'esterno del cerchio, e nel luogo sia tra la retta che la circonferenza non si interpolerà un'altra retta, e l'angolo del semicerchio è maggiore di ogni rettilineo acuto, e il restante è minore.
• Prop. 17: Condurre dal punto dato una linea retta tangente al cerchio dato.
• Prop. 18: Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal centro al punto di tangenza sia congiunta un certa retta, la retta congiunta sarà perpendicolare a quella tangente.
• Prop. 19: Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal punto di tangenza ad angoli retti con quella tangente sia condotta una retta, il centro del cerchio sarà sulla retta condotta.
• Prop. 20: In un cerchio un angolo sul centro è doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco.
• Prop. 21: In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono uguali tra loro.
• Prop. 22: Gli angoli opposti dei quadrilateri nei cerchi sono uguali a due rett.
• Prop. 23: Sulla stessa retta due segmenti simili e disuguali di cerchi non saranno costruiti dalla stessa parte.
• Prop. 24: I segmenti simili di cerchi su rette uguali sono uguali tra loro.
• Prop. 25: Dato un segmento di cerchio descrivere oltre il cerchio di cui è segmento.
• Prop. 26: Nei cerchi uguali gli angoli uguali insistono su archi uguali, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze.
• Prop. 27: Nei cerchi uguali gli angoli che insistono su archi uguali sono uguali tra loro, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze.
• Prop. 28: Nei cerchi uguali le rette uguali sottraggono archi uguali, il maggiore al maggiore, il minore al minore.
• Prop. 29: Nei cerchi uguali rette uguali sottendono gli archi uguali.
• Prop. 30: Secare a metà l'arco dato.
• Prop. 31: In un cerchio, l'angolo nel semicerchio è retto, quello nel segmento maggiore è minore di un retto, quello nel segmento minore maggiore di un retto; e ancora, l'angolo del segmento maggiore è maggiore del segmento minore minore di un retto.
• Prop. 32: Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal punto di tangenza sia condotta oltre nel cerchio una certa retta che seca il cerchio, gli angoli che fa su quella tangente saranno uguali agli angoli nei segmenti alterni del cerchio.
• Prop. 33: Sulla retta data tracciare un segmento di cerchio capace di un angolo uguale all'angolo rettilineo dato.
• Prop. 34: Dal cerchio dato sottrarre un segmento capace di un angolo uguale all'angolo rettilineo dato.
• Prop. 35: Qualora in un cerchio due rette si sechino tra loro, il rettangolo compreso dai segmenti di una sola è uguale al rettangolo compreso dai segmenti dall'altra.
• Prop. 36: Qualora sia preso un certo punto all'esterno di un cerchio, e da esso incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra sia tangente, il rettangolo compreso dalla secante totale e dalla sua parte staccata all'esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sarà uguale al quadrato su quella tangente.
• Prop. 37: Qualora sia preso un certo punto all'esterno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra incida, e il rettangolo compreso dalla secante totale e dalla sua parte staccata all'esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sia uguale al quadrato su quella che incide, quella che incide sarà tangente al cerchio.