LIBRO III
Prop.1: Trovare il centro del cerchio dato
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABC: si deve pertanto trovare il centro del cerchio ABC.
Si conduca oltre in esso, come capita, una retta AB, e la si sechi a metà nel punto D (Prop.1-10), e da D perpendicolarmente ad AB si conduca oltre fino a E (Prop.1-11), e si sechi CE a metà nel punto F (Prop.1-10): dico che F è il centro del cerchio ABC.
Per ipotesi non è, ma se possibile sia G il centro. Si congiunga GA, GD, GB.
Poiché AD è uguale a DB, e DG è in comune, i due lati AD e DG sono uguali rispettivamente ai due lati BD e DG; e la base GA è uguale alla base GB (Prop.1-8), sono infatti raggi, l'angolo ADG è quindi uguale all'angolo GDB.
E quando una retta che sta su una retta forma angoli adiacenti uguali tra loro, l'uno e l'altro degli angoli uguali è retto: GDB è quindi retto (Def.1-10). Ma anche l'angolo FDB è retto; l'angolo FDB è quindi uguale all'angolo GDB, il maggiore al minore; il che è impossibile. G non è pertanto il centro del cerchio ABC. Analogamente si dimostra che non lo è nessun altro punto tranne F.
Il punto F è quindi il centro del cerchio ABC.
Corollario
Da ciò è manifesto che, qualora in un cerchio una certa retta seca a metà e ad angoli retti una certa retta, il centro del cerchio sta su quella retta che seca.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza per tre punti: disegna il cerchio AB
- Segmento: disegna il segmento (corda) AB
- Punto Medio: traccia il punto medio di AB, D
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla corda AB e passante per D, che interseca la circonferenza nei punti C ed E
- Punto Medio: traccia il punto medio F di CE.
- Punto: traccia il punto G interno al cerchio
- Segmento: disegna i segmenti AG, BG, DG
La scelta di un eventuale punto G come centro, presente nella dimostrazione, è giustificata dalla definizione di cerchio che prevede l'esistenza di un centro.
In questa dimostrazione il punto G si trova sull'asse di AB. G non può che essere il punto F dovendo essere equidistante dai punti C ed E. Da ciò deriva che il centro è unico.
Il corollario è utilizzato nelle proposizioni Prop.3-9 e Prop.3-10.