LIBRO I
Prop. 8: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche la base uguale alla base, hanno anche l'angolo compreso dalle rette uguali, uguale all'angolo
Dimostrazione
Siano dati due triangoli ABC e DEF che hanno i due lati AB e AC rispettivamente uguali ai due lati DE e DF, cioè AB uguale a DE e AC uguale a DF e hanno pure la base BC uguale alla base EF: dico che anche l'angolo BAC è uguale all'angolo EDF.
Se il triangolo ABC è sovrapposto al triangolo DEF, e se il punto B è posto sul punto E e la retta BC su EF, allora anche il punto C coincide con F, poiché BC è uguale a EF.
Sovrappostosi BC a EF, anche BA e CA si sovrapporranno a ED e DF. Se, infatti, la base BC si sovrappone alla base EF, e i lati BA e CA non si sovrappongono a ED e DF ma si discostano come EG e GF, allora date due rette costruite su una rette e che si incontrano in un punto, saranno state costruite sulle stessa retta e dalla stessa parte di essa, due altre rette che si incontrano in un altro punto e uguali rispettivamente alle due precedenti, cioè ognuna a quella che ha lo stesso limite. Ma esse non si possono costruire (Prop.1-2).
Non è quindi possibile che, se la base BC è sovrapposta alla base EF, i lati BA e AC non si sovrappongano a ED e DF.
Quindi si sovrapporranno, così che l'angolo BAC si sovrapporrà all'angolo EDF e sarà uguale ad esso.
Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche la base uguale alla base, hanno anche l'angolo compreso dalle rette uguali, uguale all'angolo..
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Punto: traccia il punto D
- Semiretta: disegna una semiretta di origine D
- Compasso: disegna la circonferenza di centro D e raggio uguale a AB che interseca la semiretta in E
- Angolo di data Ampiezza: disegna l'angolo avente come lato la semiretta DE, vertice D e uguale a BAC
- Semiretta: completa l'angolo tracciando la semiretta del secondo lato dell'angolo
- Angolo di data Ampiezza: disegna l'angolo avente come lato la semiretta DE, vertice E e uguale a ABC
- Semiretta: completa l'angolo tracciando la semiretta del secondo lato dell'angolo
- Compasso: disegna la circonferenza di centro E e raggio uguale a BC che interseca la semiretta in F
- Poligono: disegna il triangolo EDF
- Punto: traccia il punto G esterno al triangolo DEF
- Segmento: disegna i segmenti EG e FG
Questo teorema è oggi introdotto come terzo criterio di congruenza tra due triangoli che hanno tutti e tre i lati rispettivamente congruenti. Anche in questa dimostrazione si fa uso della modalità di sovrapposizione.
Questa proposizione è utilizzata per varie proposizioni del Libro I, a cominciare dalla successiva.