LIBRO III
Prop.9: Qualora sia preso un certo punto all'interno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio più di due rette uguali, il punto preso è centro del cerchio
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABC, un punto D all'interno di esso, e da D incidano sul cerchio ABC più di due rette uguali DA, DB, DC: dico che il punto D è il centro del cerchio ABC.
Si congiungano AB e BC, e siano secate a metà rispettivamente nei punti E e F (Prop.1-10). Si congiungano ED e FD, e si conducano oltre fino ai punti G, K, H e L.
Poiché AE è uguale a EB e ED è in comune, i due lati AE e ED sono uguali ai due lati BE e ED, e la base DA è uguale alla base DB; l'angolo AED è quindi uguale all'angolo BED (Prop.1-8). Gli angoli AED e BED sono quindi entrambi retti. Pertanto GK seca AB a metà e ad angoli retti.
E poiché, se in un cerchio una retta seca sia a metà sia ad angoli retti una certa retta, allora il centro del cerchio è su quella retta, cioè GK (Prop.3-1). Per gli stessi motivi il centro del cerchio ABC è anche su HL.
E le rette GK e HL non hanno altri punti in comune oltre a D; pertanto il punto D è il centro del cerchio ABC.
Qualora quindi sia preso un certo punto all'interno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio più di due rette uguali, il punto preso è centro del cerchio.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia tre punti A, B, C non allineati
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC
- Punto Medio: traccia i punti medi di AB, E, e di BC, F
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari ad AB per E e a BC per F; si incontrano in D, centro del cerchio
- Segmento: disegna tutti i segmenti indicati
Questa costruzione può anche essere utilizzata per costruire una circonferenza, dati due segmenti consecutivi.
Essa è utilizzata nella Prop.3-25.