Elementi di Euclide

Prop.8: Qualora all'esterno di un cerchio sia preso un certo punto, e dal punto siano condotte oltre certe rette al cerchio, una sola delle quali per il centro, le restanti come capita, massima delle rette che incidono sull'arco concavo di circonferenza è quella per il centro, delle altre, in successione la più vicina a quella per il centro è maggiore di quella più lontana, e minima delle rette che incidono sull'arco convesso di circonferenza è quella sia tra il punto che il diametro, delle altre, in successione la più vicina è quella minima è minore di quella più lontana, e soltanto due rette uguali incideranno dal punto sul cerchio da una e dall'altra parte di quella minima

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABCD e si prenda un punto D all'esterno di ABC, e da esso si conducano oltre le rette DA, DE, DF, DC, e sia DA quella per il centro. Dico che massima delle rette che incidono sull'arco concavo di circonferenza AEFC è quella per il centro, DA, e che DE è maggiore di DF, DF di DC, e minima delle rette che incidono sull'arco convesso di circonferenza HLKG è DG, cioè quella tra il punto e il diametro AG, e in successione la più vicina a quella minima DG è minore della più lontana, DK di DL, DL di DH.

Si prenda il centro M del cerchio ABC (Prop.3-1). Si congiungano ME, MF, MC, MK, ML e MH.

E poiché AM è uguale a EM, si sommi MD ad entrambi; AD è quindi uguale alla somma di EM e MD. Ma la somma di EM e MD è maggiore di ED, AD è quindi maggiore di ED (Prop.1-20). Di nuovo, poiché ME è uguale a MF, e MD è in comune, allora EM e MD sono uguali a FM e MD, e l'angolo EMD è maggiore dell'angolo FMD; la base ED è quindi maggiore della base FD (Prop.1-24). Del tutto similmente si dimostra che FD è maggiore di CD. Pertanto DA è la maggiore, mentre DE è maggiore di DF, e DF è maggiore di DC.

E poiché la somma di MK e KD è maggiore di MD, e MG è uguale a MK, allora KD restante è maggiore di GD restante, così che GD è minore di KD (Prop.1-20). E poiché risultano costruite all'interno del triangolo MLD, su uno solo dei lati MD, due rette MK e KD, allora la somma di MK e KD è minore della somma di ML e LD (Prop.1-21). E MK è uguale a ML, pertanto DK restante è minore di DL restante. Del tutto similmente si dimostra che anche DL è minore di DH. Pertanto DG è la minore, mentre DK è minore di DL, e DL è minore di DH.

Dico anche che solo due rette uguali incideranno dal punto D sul cerchio, da parti opposte di quella minima DG.

Si costruisca l'angolo DMB uguale all'angolo KMD sulla retta MD e su M su di essa (Prop.1-23). Si congiunga DB. E poiché MK è uguale a MB, e MD è in comune, i due lati KM e MD sono uguali rispettivamente ai due lati BM e MD, e l'angolo KMD è uguale all'angolo BMD; la base DK è quindi uguale alla base DB (Prop.1-4).

Dico ora che nessun'altra retta uguale alla retta DK incide sul cerchio dal punto D.

Se infatti possibile, incida e sia DN. Allora, poiché DK è uguale a DN, e DK è uguale a DB, anche DB è uguale a DN, cioè la più vicina a quella minima DG è uguale alla più lontana, il che è impossibile. Pertanto non più di due rette uguali incideranno sul cerchio ABC dal punto D, da una e dall'altra parte di quella minima DG.

Qualora quindi all'esterno di un cerchio sia preso un certo punto, e dal punto siano condotte oltre certe rette al cerchio, una sola delle quali per il centro, le restanti come capita, massima delle rette che incidono sull'arco concavo di circonferenza è quella per il centro, delle altre, in successione la più vicina a quella per il centro è maggiore di quella più lontana, e minima delle rette che incidono sull'arco convesso di circonferenza è quella sia tra il punto che il diametro, delle altre, in successione la più vicina è quella minima è minore di quella più lontana, e soltanto due rette uguali incideranno dal punto sul cerchio da una e dall'altra parte di quella minima.

La costruzione con GeoGebra:

• Punto: traccia tre punti A, E, C non allineati
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza
• costruisci il centro M della circonferenza
• Segmento: disegna il segmento AD passante per M con D esterno alla circonferenza
• Punto: traccia il punto F sulla circonferenza
• Segmento: disegna tutti i segmenti ME, MF, MC, MK, ML, MH
• Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo DMB, con B sulla circonferenza, uguale a DMK
• Segmento: disegna i segmenti MB, DB
• Punto: traccia il punto N sulla circonferenza
• Segmento: disegna il segmento DN

Questa proposizione non è più utilizzata.