LIBRO I
Prop. 21: Se dai limiti di uno dei lati di un triangolo sono costruite due rette che si incontrano all'interno del triangolo, allora la somma delle rette così costruite è minore della somma dei restanti due lati del triangolo, ma le rette costruite contengono un angolo maggiore dell'angolo contenuto dai due lati restanti
Dimostrazione
Dai limiti B e C di uno dei lati BC del triangolo ABC, si costruiscano due rette BD e DC che si intersecano all'interno del triangolo: dico che la somma di BD e DC è minore della somma dei due lati restanti BA e AC, ma BD e DC contengono un angolo BDC maggiore dell'angolo BAC.
Si conduca oltre BD fino al punto E(Post2).
Poiché in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del restante, allora, nel triangolo ABE, la somma dei due lati AB e AE è maggiore di BE (Prop.1-20). Si sommi EC ad ognuno. La somma di BA e AC è quindi maggiore della somma di BE e EC (NC).
Di nuovo, poiché nel triangolo CED, la somma dei due lati CE e ED è maggiore di CD (Prop.1-20), si sommi DB ad ognuno; la somma di CE e EB è quindi maggiore della somma di CD e DB. Ma la somma di BA e AC è stata dimostrata maggiore della somma di BE e EC; la somma di BA e AC è quindi molto maggiore della somma di BD e DC (NC).
Di nuovo, poiché in ogni triangolo l'angolo esterno è maggiore dell'angolo interno ed opposto (Prop.1-16), l'angolo esterno BDC del triangolo CDE è maggiore dell'angolo CED. Pergli stessi motivi, nel triangolo ABE l'angolo esterno CEB è maggiore dell'angolo BAC. Ma l'angolo BDC è stato dimostrato maggiore dell'angolo CEB, l'angolo BDC è quindi molto maggiore dell'angolo BAC.
Se quindi dai limiti di uno dei lati di un triangolo sono costruite due rette che si incontrano all'interno del triangolo, allora la somma delle rette così costruite è minore della somma dei restanti due lati del triangolo, ma le rette costruite contengono un angolo maggiore dell'angolo contenuto dai due lati restanti.
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna le semirette di origine B e C che si intersecano in D
- Segmento: disegna i segmenti BE e CD
Questa proposizione è utilizzata nel Libro III.