LIBRO I
Prop. 16: Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l'angolo all'esterno è maggiore di uno e dell'altro degli angoli all'interno e opposti
Dimostrazione
Sia dato un triangolo ABC e sia prolungato in avanti un suo lato BC fino a D: Dico che l'angolo esterno ACD è maggiore di uno o dell'altro degli angoli interni e opposti CBA e BAC.
Si sechi a metà AC in E (Prop.1-10). Si congiunga BE e si prolunghi in linea retta fino a F (Post1-2). Si prenda EF uguale a BE, si congiunga FC, e si conduca AC oltre fino a G (Prop.1-3).
Poiché AE è uguale a EC, e BE è uguale a EF, i due lati AE e EB sono uguali rispettivamente ai due lati CE e EF, e l'angolo AEB è uguale all'angolo FEC, sono infatti angoli al vertice (Prop.1-15). La base AB è quindi uguale alla base FC, il triangolo ABE è uguale al triangolo CFE, e gli angoli restanti, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali agli angoli restanti (Prop.1-4). L'angolo BAE è quindi uguale all'angolo ECF.
Ma l'angolo ECD è maggiore dell'angolo ECF, l'angolo ACD è quindi maggiore dell'angolo BAE (NC5). Analogamente, se BC è secato a metà, allora l'angolo BCG, cioè l'angolo ACD, è pure dimostrato esere maggiore dell'angolo ABC (Prop.1-15).
Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l'angolo all'esterno è maggiore di uno e dell'altro degli angoli all'interno e opposti.
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna le semirette che prolungano BC e a AC dalla parte di C
- Punto Medio: traccia il punto medio E del lato AC
- Semiretta: disegna la semiretta BE
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro E e raggio EB che interseca la semiretta BE in F (in tal modo si ottiene il segmento EF uguale a BE)
- Segmento: disegna il segmento CF
Nella proposizione Prop.1-32, basandosi sul postulato delle parallele (Post.5), e sui teoremi relativi alle rette parallele, Euclide mostra che l'angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.
Questa proposizione è utilizzata nella dimostrazione delle successive due Proposizioni.