LIBRO I
Prop. 32: Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l'angolo all'esterno è uguale ai due all'interno e opposti, e i tre angoli all'interno del triangolo sono uguali a due retti
Dimostrazione
Sia dato il triangolo ABC e si prolunghi in avanti un suo lato BC fino a D: dico che l'angolo esterno ACD è uguale ai due all'interno e opposti CAB e ABC, e i tre angoli interni al triangolo ABC, BCA, CAB sono uguali a due retti.
Si conduca CE per il punto C parallela alla retta AB (Prop.1-31).
Poiché AB è parallela a CE, e su di esse incide AC, gli angoli alterni BAC e ACE sono quindi uguali tra loro (Prop.1-29). Di nuovo, poiché AB è parallela a CE, e la retta BD incide su di esse, l'angolo esterno ECD è quindi uguale all'angolo interno e opposto ABC (Prop.1-29).
Ma l'angolo ACE è stato dimostrato uguale all'angolo BAC. L'angolo ACD totale è quindi uguale alla somma dei due angoli interni e opposti BAC e ABC.
Si sommi ACB ad ognuno. Allora la somma degli angoli ACD e ACB è uguale alla somma dei tre angoli ABC, BCA e CAB. Ma la somma degli angoli ACD e ACB è uguale a due retti. Pertanto la somma degli angoli ABC, BCA e CAB è pure uguale a due angoli retti (Prop.1-13).
Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l'angolo all'esterno è quindi uguale ai due all'interno e opposti, e i tre angoli all'interno del triangolo sono uguali a due retti.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Triangolo: disegna il triangolo ABC
- strumento Semiretta: disegna la semiretta BD passante per C
- strumento Parallela: disegna la retta CE parallela ad AB
Questa proposizione non è più usata nel Libro I, ma lo è frequentemente in tutti i libri successivi.
Questa proposizione rappresenta uno dei due teoremi significativi del Libro I (l'altro è la prop. 47, il cosiddetto teorema di Pitagora). Da sottolineare che la dimostrazione non fa ricorso al quinto postulato.