LIBRO I
Prop. 31: Condurre una linea retta per il punto dato e parallela alla retta data
Dimostrazione
Sia dato il punto A e la retta BC: si deve pertanto condurre per il punto A, parallela alla retta BC, una linea retta.
Si prenda un punto D a caso su BC. Si congiunga AD. Si costruisca l'angolo DAE uguale all'angolo ADC sulla retta DA e sul punto A su di essa (Prop.1-23). Si prolunghi in linea retta con EA una retta AF.
Poiché la retta AD, incidendo sulle due rette BC e EF forma angoli alterni EAD e ADC uguali tra loro, allora EAF è parallela a BC (Prop.1-27).
Risulta quindi condotta per il punto dato A parallela alla retta data BC una linea retta EAF.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia il punto A
- Segmento: disegna un segmento BC che non contiene A
- Punto: traccia il punto D sul segmento BC
- Segmento: disegna il segmento AD
- Angolo di data ampiezza: trasporta l'angolo ADC in EAD (questa istruzione riassume tutte le procedure euclidee di trasporto di un angolo)
Questa proposizione è frequentemente usata nel Libro I.