LIBRO I
Prop. 23: Costruire, sulla retta data e su un punto su di essa, un angolo rettilineo uguale all'angolo rettilineo dato
Dimostrazione
Sia data la retta AB, un punto A su di essa, l'angolo rettilineo DCE: si deve pertanto costruire, sulla retta data AB, e sul punto A su di essa, un angolo rettilineo uguale all'angolo rettilineo dato DCE
Si prendano i punti D e E come capita rispettivamente sulle rette CD e CE, e si congiunga DE. Si costruisca il triangolo AFG con tre rette uguali alle tre CD, DE e CE (Prop.1-22) in modo tale che CD sia uguale a AF, CE sia uguale a AG e DE sia uguale a FG.
Poiché i due lati DC e CE sono uguali rispettivamente ai due lati FA e AG, e la base DE uguale alla base FG, l'angolo DCE è quindi uguale all'angolo FAG (Prop.1-8).
Sulla retta data AB e su un punto A su di essa risulta quindi costruito un angolo rettilineo FAG uguale all'angolo rettilineo dato.
La costruzione con GeoGebra:
- Semiretta: disegna le semirette AB di origine A, e CD, CE di origine C
- Segmento: disegna i segmenti CE, DE, CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro A e raggio CE, che interseca la semiretta AB in G
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro A e raggio CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro G e raggio DE
- Punto Intersezione: traccia il punto F di intersezione tra le due circonferenze
- Triangolo: disegna il triangolo AFG, che avrà l'angolo FAG uguale all'angolo dato CDE.
Questa costruzione consente il cosiddetto trasporto dell'angolo, non necessariamente nello stesso piano di quello dato.
La costruzione in questa proposizione è utilizzata nella successiva e molte volte nei Libri III, IV, VI, XI.