LIBRO I
Prop. 33: Le rette che congiungono dalla stessa parte le rette sia uguali che parallele sono anche esse stesse sia uguali che parallele
Dimostrazione
Siano AB, BC sia uguali che parallele, e le rette AC e BD le congiungano dalla stessa parte: dico che anche AC e BD sono sia uguali che parallele.
Si congiunga BC (Post.1). Poiché AB è parallelo a CD e BC incide su di esse, allora gli angoli alterni ABC e BCD sono uguali tra loro (Prop.1-29).
Poiché AB è uguale a CD, e BC è in comune, i due lati AB e BC sono uguali ai due lati DC e CB, e l'angolo ABC è uguale all'angolo BCD; la base AC è quindi uguale alla base BD, il triangolo ABC è uguale al triangolo DCB, e gli angoli restanti sono rispettivamente uguali agli angoli restanti, cioè quelli opposti ai lati uguali (Prop.1-4). L'angolo ACB è quindi uguale all'angolo CBD.
Poiché la retta BC che incide sulle due rette AC e BD forma angoli alterni uguali fra loro, allora AC è parallela a BD (Prop.1-27). Ed è stata dimostrata anche uguale.
Le rette che congiungono dalla stessa parte le rette sia uguali che parallele sono anche esse stesse sia uguali che parallele.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: traccia il punto C non appartenente ad AB
- Parallela: disegna la retta CD parallela ad AB passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C e raggio AB, che interseca la parallela in D
- Segmento: disegna i segmenti CD, AC e BD
Euclide non dà una definizione di parallelogrammo, e questa proposizione è uno strumento per la sua costruzione quando viene dara una coppia di segmenri uguali e paralleli; offre pure la possibilità di verificare se un quadrilatero è un parallelogrammo.
Questa proposizione è più usata nella Prop.1-36 e Prop.1-45.