LIBRO I
Prop. 36: I parallelogrammi che sono su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano dati i parallelogrammi ABCD e EFGH che sono su basi uguali BC e FGe nelle stesse parallele AH, BG: dico che il parallelogrammo ABCD è uguale al parallelogrammo EFGH.
Si congiungano BE e CH (Post1).
Poiché BC è uguale a FG e FG è uguale a EH, BC è allora uguale a EH (Prop.34). E sono anche parallele, e le congiungono EB ed HC. Ma rette che congiungono rette uguali e parallele nello stesso verso sono pure uguali e parallele; EBCH è quindi un parallelogrammo (Prop.33). Ed è uguale a ABCD, ha infatti la stessa base BC che è nelle stesse parallele BC e AH (Prop.1-35).
Per gli stessi motivi anche EFGH è uguale allo stesso EBCH, così che il parallelogrammo ABCD è uguale a EFGH.
I parallelogrammi che sono su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta passante per un punto A
- Segmento: disegna un segmento ausialiario
- Punto: traccia il punto B esterno alla retta per A
- Parallela: disegna la parallela, passante per B, alla retta per A
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro B e raggio uguale al segmento ausiliario, che interseca la parallela in C
- Punto: traccia il punto F, esterno a BC, sulla retta passante per B e C
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro F e raggio uguale al segmento ausiliario, che interseca la parallela BC in G
- Segmento: congiungi AB
- Parallela: traccia la parallela per C al segmento AB, che interseca la retta per A in D
- Poligono: disegna il parallelogrammo ABCD
- Punto: traccia il punto E sulla retta AD, esterno al segmento AD
- Segmento: congiungi EF
- Parallela: traccia la parallela per G al segmento EF, che interseca la retta per AD in H
- Poligono: disegna il parallelogrammo EFGH
Questa proposizione è una generalizzazione della precedente dalla quale dipende per la dimostrazione.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-38.