LIBRO I
Prop. 37: I triangoli che sono sulla stessa base e nelle stesse parallele sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano dati i triangoli ABC e DBC sulla stessa base BC e nelle stesse parallele AD, BC: dico che il triangolo ABC è uguale al triangolo DBC.
Si prolunghi AD da una e dall'altra parte fino a E e F (Post1). Si tracci BE per B parallela a CA, e si tracci CF per C parallela a BD (Prop.1-31).
Allora ognuna delle figure EBCA e DBCF è un parallelogrammo, e sono uguali, sono infatti sia sulla stessa base BC e tra le stesse parallele BC e EF (Prop.1-35). Inoltre il triangolo ABC è metà del parallelogrammo EBCA, la diagonale AB lo seca infatti a metà. E il triangolo DBC è metà del parallelogrammo DBCF, la diagonale DC lo seca infatti a metà (Prop.1-34).
Il triangolo ABC è quindi uguale al triangolo DBC.
I triangoli che sono sulla stessa base e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Parallela: disegna la parallela a BC passante per A
- Punto: traccia il punto D sulla parallela
- Triangolo: disegna il triangolo DBC
- Parallela: disegna la parallela per C al lato BD, che interseca la retta AD in F
- Parallela:disegna la parallela per B al lato AC, che interseca AD in E
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-39 e Prop.1-41.