LIBRO I

Prop. 39: I triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte sono anche nelle medesime parallele

Dimostrazione

Siano ABC e DBC triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte di BC: dico che sono anche nelle stesse parallele.

Si congiunga A con D: dico che AD è parallela a BC (Post.1).

Se così non fosse, si conduca per il punto A la retta AE parallela a BC, e si congiunga E con C (Prop.1-31).

Il triangolo ABC è quindi uguale al triangolo EBC, è infatti sia sulla stessa base BC sia nelle stesse parallele (Prop.1-37). Ma ABC è uguale a DBC: anche DBC è quindi uguale a EBC, il maggiore al minore; il che è impossibile: non si dà quindi il caso che AE sia parallela a BC. Analogamente si dimostra che nessun altra retta eccetto AD: AD è quindi parallela a BC.

I triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte sono anche nelle stesse parallele.

La costruzione con GeoGebra:
  • Poligono: disegna il triangolo ABC
  • Parallela: disegna la parallela a BC passante per A
  • Circonferenza: disegna la circonferenza di centro B e di raggio AC; sia D l'intersezione con la parallela
  • Poligono: disegna il triangolo BCD
  • Punto: traccia il punto E appartenente al segmento BD
  • Segmento: disegna i segmenti AE e EC

Questa proposizione è utilizzata nel Libro VI.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello