LIBRO I
Prop. 39: I triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte sono anche nelle medesime parallele
Dimostrazione
Siano ABC e DBC triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte di BC: dico che sono anche nelle stesse parallele.
Si congiunga A con D: dico che AD è parallela a BC (Post.1).
Se così non fosse, si conduca per il punto A la retta AE parallela a BC, e si congiunga E con C (Prop.1-31).
Il triangolo ABC è quindi uguale al triangolo EBC, è infatti sia sulla stessa base BC sia nelle stesse parallele (Prop.1-37). Ma ABC è uguale a DBC: anche DBC è quindi uguale a EBC, il maggiore al minore; il che è impossibile: non si dà quindi il caso che AE sia parallela a BC. Analogamente si dimostra che nessun altra retta eccetto AD: AD è quindi parallela a BC.
I triangoli uguali che sono sulla stessa base e dalla stessa parte sono anche nelle stesse parallele.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Parallela: disegna la parallela a BC passante per A
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro B e di raggio AC; sia D l'intersezione con la parallela
- Poligono: disegna il triangolo BCD
- Punto: traccia il punto E appartenente al segmento BD
- Segmento: disegna i segmenti AE e EC
Questa proposizione è utilizzata nel Libro VI.