LIBRO I

Prop. 35: Sia i lati che gli angoli opposti dei parallelogrammi sono uguali tra loro, e la diagonale li seca a metà

Dimostrazione

Siano ABCD e EBCF parallelogrammi sulla stessa base BC e nelle stesse parallele AF e BC: dico che ABCD è uguale al parallelogrammo EBCF.

Poiché ABCD è un parallelogrammo, AD è uguale a BC (Prop.34). Per lo stesso motivo anche EF è uguale a BC e pure AD è uguale a EF; e DE è in comune: AE totale è quindi uguale a DF totale (NC).

Ed è anche AB uguale DC (Prop.34): due rette EA, AB sono pertanto rispettivamente uguali a due rette FD, DC; e l'angolo FDC è uguale all'angolo EAB, quello esterno a quello interno (Prop.29): EB come base è quindi uguale a FC come base, e il triangolo EAB sarà uguale al triangolo DFC (Prop.4).

Si sottragga DGE da ognuno: il trapezio restante ABGD restante è quindi uguale al trapezio EGCF restante; si aggiunga il triangolo GBC comune: il parallelogrammo ABCD totale è quindi uguale al parallelogrammo EBCF totale.

I parallelogrammi che sono sulla stessa base e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.

La costruzione con GeoGebra:
  • Punto: traccia i punti A, B, C non allineati
  • Segmento: disegna i segmenti AB e BC
  • Parallela: traccia la parallela per C al segmento AB e per A al segmento BC
  • Poligono: disegna il parallelogrammo ABCD
  • Punto: segna un punto F sulla parallela per A e D
  • Segmento: disegna il segmento CF
  • Parallela: disegna la parallela per B al segmento CF e indica con E il punto di intersezione
  • Segmento: traccia il segmento AF
  • Poligono: disegna il parallelogrammo BCFE

Questa dimostrazione considera in modo specifico il caso in cui il punto D si trova tra A ed E, rendendo necessaria la sottrazione del triangolo. Euclide tratta le figure come grandezze aggiungendole e sottraendole tra loro.

Vi possono essere altri casi, come per esempio quando E si trova tra A e D. In questo caso il punto G risulta irrilevante e basta aggiungere al trapezio i triangoli congruenti ABE e DCF per dimostrare l'asserto.

Questa proposizione è utilizzata nelle prossime due.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello